bbildung und Linearität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Izual85 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Abbildungen auf Linearit¨at und bestimmen Sie jeweils den Bildraum sowie den Kern:
a) [mm] \Phi [/mm] : [mm] \IR^3 \rightarrow \IR^4, (x_1, x_2, x_3) \mapsto (x_1 [/mm] + [mm] x_2, x_2 [/mm] − [mm] x_3, x_1 [/mm] + [mm] x_3, x_3 [/mm] − [mm] x_2)
[/mm]
b) [mm] \psi [/mm] : [mm] \IR[x]_n \rightarrow \IR[x]_n, a_0 [/mm] + [mm] a_{1}x [/mm] + · · · + [mm] a_n x^n \mapsto a_1 [/mm] + [mm] 2a_{2}x [/mm] + · · · + [mm] na_n x^{n-1}, [/mm] wobei
[mm] \IR[x]_n [/mm] := [mm] \lbrace [/mm] p [mm] \in \IR[x] [/mm] | deg p [mm] \le [/mm] n [mm] \rbrace
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe nicht so richtig eine Ahnung was ich machen soll ich wurde in der Zeit am Blinddarm opperriert und bin dadurch 2 wochen ausgefallen weil es komplikationen gab und wäre sehr dankbar wenn ich eien lösung bekommen könnte.
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> Untersuchen Sie folgende Abbildungen auf Linearit¨at und
> bestimmen Sie jeweils den Bildraum sowie den Kern:
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> a) [mm]\Phi[/mm] : [mm]\IR^3 \rightarrow \IR^4, (x_1, x_2, x_3) \mapsto (x_1[/mm]
> + [mm]x_2, x_2[/mm] − [mm]x_3, x_1[/mm] + [mm]x_3, x_3[/mm] − [mm]x_2)[/mm]
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> b) [mm]\psi[/mm] : [mm]\IR[x]_n \rightarrow \IR[x]_n, a_0[/mm] + [mm]a_{1}x[/mm] + ·
> · · + [mm]a_n x^n \mapsto a_1[/mm] + [mm]2a_{2}x[/mm] + · · · + [mm]na_n x^{n-1},[/mm]
> wobei
> [mm]\IR[x]_n[/mm] := [mm]\lbrace[/mm] p [mm]\in \IR[x][/mm] | deg p [mm]\le[/mm] n [mm]\rbrace[/mm]
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> und
> wäre sehr dankbar wenn ich eien lösung bekommen könnte.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Fertige Lösungen bekommst Du hier in der Regel nicht (s. Forenregeln), mit Hinweisen sind wir jedoch großzügig.
Bei beiden Aufgaben sind also die beiden ![[]](/images/popup.gif) Linearitätsbedingungen nachzuweisen.
Die Klippe am Anfang liegt manchmal darin, daß nicht klar ist, was für das x und y aus der Definition einzusetzen ist.
x und y entstammen beide dem Vektorraum, in welchem die Abbildung startet,
in Aufgabe a) ist das der [mm] \IR^3, [/mm] und Du kannst mit [mm] x:=\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3} [/mm] und [mm] y:=\vektor{y_1 \\ y_2\\y_3} [/mm] arbeiten,
in Aufg. b) geht es um den Vektorraum der reellen Polynome v. Höchstgrad n.
Die Elemente, auf die die Abbildung angewendet wird, sind also Polynome.
D.h. Du mußt prüfen, ob für alle [mm] p:=\summe_{i=1}^{n}a_ix^i,q:=\summe_{i=1}^{n}b_ix^i \in \IR[x]_n [/mm] und für alle [mm] \lambda\in \IR [/mm]
[mm] \psi (p+q)=\psi (p)+\psi [/mm] (q)
[mm] \psi (\lambda p)=\lambda\psi [/mm] (p)
gilt.
Du solltest nun versuchen, das umzusetzen, bei Fragen kannst Du Deine Lösungsansätze hier vorstellen, dann hilft Dir bestimmt jemand weiter.
Gruß v. Angela
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