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basis von Jordan Normalform: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:52 So 24.06.2012
Autor: EvelynSnowley2311

Aufgabe
a)
Bestimmen sie die Jordnnormalform von A und die dazugehörige Basis [mm] \in \IC^{3x3}. [/mm]


A:= [mm] \pmat{ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1\\ 2 & 2 & 3 } [/mm]

b) Sei J die Normalform einer Matrix B [mm] \in Mat_{nxn} (\IC). [/mm] B habe Genau einen Eigenwert. Beweisen sie die folgende Aussage:

Ist r die kleinste Zahl mit ( B- [mm] \lambda \* E)^r [/mm] = 0, so hat das größte Jordankästchen genau r Zeilen und Spalten.

c)

Es sei C [mm] \in Mat_{nxn} [/mm] (K).
Zeigen Sie: Zerfällt das char. Polynom von C über K in Linearfaktoren,
so ist C ähnlich zu [mm] C^T [/mm]


huhu,

also erstmal zur a)
Ich habe aus dem char. Polynom heraus die Eigenwerte

[mm] \lambda_1 [/mm] = 1 und [mm] \lambda_{2,3} [/mm] = 3

dabei hat der einfache Eigenwert 1 auch nur ein Eigenvektor ,
genannt [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm]

Allerdings hat der doppelte Eigenwert 3 auch nur einen Eigenvektor,
nämlich [mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm]

Eine Darstellung der Jordan Normalform ist gegeben durch




J = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3} [/mm]

Zur Basis. Da muss ich nun das Problem mit dem Eigenwert 3 betrachten. Ich brauch soweit ich es verstehe 2 Vektoren statt nur dem einen hier.
Also es war
kern (A-3E) = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] = dim 1
dann muss ich nun  [mm] (A-3E)^2 [/mm] betrachten, bzw den Kern davon.
der ist gegebn durch [mm] kern(A-3E)^2 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}. [/mm]

Da alle lin. unabhängig sind, nehme ich an, dass eine Basis der Jordan Normalform die Basis { [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] , [mm] e_3 [/mm] } ist ;)





b)"..habe genau einen Eigenwert" Ich nehme an, dass dieser aber beliebige Vielfachheit haben kann.
Wenn  ( B- [mm] \lambda \* E)^r [/mm] = 0 gilt, ist es doch so, dass ich die Matriz solange mit sich selbst multipliziere, bis ich nur noch eine Nullmatrix habe oder?  Der kern wäre dann ja nur der "Nullvektor" also dim 0. Dann kann ich mir das ja so ausmalen, dass das längste Kästchen die Größe r = n hat oder?

Zusätzlich les ich grad was über nilpotente Matrizen. Dann wäre mein char. Polynom geben durch [mm] (-1)^k \* \lambda^k [/mm] mit K =r , r+1,....,n und somit wäre das größte Kästchen eig nicht unbedingt r , hm..




c)
"Zerfällt pA über K in Linearfaktoren, so ist A (über K) ähnlich zu einer Matrix der
JORDANschen Normalform." Ich denke das wird mir weiterhelfen.

Dann kann ich doch J darstellen als  [mm] T^{-1} \* [/mm] A [mm] \* [/mm] T = J und wenn ich die transponierte J darstellen will mit [mm] S^{-1} \* [/mm] A [mm] \* [/mm] S = [mm] J^T [/mm]


[mm] (S^{-1})^T [/mm] * A * [mm] S^T [/mm] = [mm] (J^T)^T [/mm] = J = [mm] T^{-1} [/mm] * A * T
[mm] (A*S)^T [/mm] * [mm] (S^{-1})^T [/mm] = [mm] T^{-1} [/mm] * A * T
[mm] S^T [/mm] * [mm] A^T [/mm] * [mm] (S^{-1})^T [/mm] = [mm] T^{-1} [/mm] * A * T
        [mm] A^T [/mm]              = [mm] (S^T)^{-1} [/mm] * [mm] T^{-1} [/mm] * A * T * [mm] S^T [/mm]
        [mm] A^T [/mm]               = [mm] R^{-1} [/mm] * A * R
mit R := T [mm] \* S^T [/mm]
Somit ist A ähnlich zu [mm] A^T. [/mm]

        
Bezug
basis von Jordan Normalform: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Di 26.06.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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