axiome nachrechnen < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Fr 29.10.2010 | | Autor: | emulb |
| Aufgabe | Es sei K= {a+b [mm] \wurzel{2} [/mm] : a,b E Q}.
Zeige, dass K mit der reellen Addition und Multiplikation ein Körper ist. |
Der Prof. hat gesagt, dass wir die axiome nachrechnen sollen, elemente aus K nehmen sollen (reelle Zahlen).
Ich versteh nicht genau was er damit meint! Wie soll ich anfangen? Welche Schritte brauche ich dafür? Meint er mit Axiome nachrechnen, dass ich nachweisen soll ob es eine Gruppe ist? Hoffnungslos.
(habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo emulb!
Es geht um folgende Axiome: ![[]](/images/popup.gif) Einzelaufzählung.
Diese sind nun der Reihe "abzuarbeiten" und nachzuweisen.
Beispiel Kommutativgesetz / Addition:
[mm] $$\left(a_1+b_1*\wurzel{2}\right)+\left(a_2+b_2*\wurzel{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \left(a_1+a_2\right)+\left(b_1+b_2\right)*\wurzel{2} [/mm] \ = \ [mm] \left(a_2+a_1\right)+\left(b_2+b_1\right)*\wurzel{2} [/mm] \ = \ [mm] \left(a_2+b_2*\wurzel{2}\right)+\left(a_1+b_1*\wurzel{2}\right)$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Fr 29.10.2010 | | Autor: | emulb |
also das was Sie gerechnet haben ist also die Addition. Wars das jetzt oder folgen bei der Addition jetzt noch weitere Schritte, wie z.B Distributivgesetz usw?
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Hallo Nazan,
> also das was Sie
So alt ist der Roadrunner nun auch nicht ![[old]](/images/smileys/old.gif "[old]")
Hier duzen wir uns alle ...
> gerechnet haben ist also die Addition.
genauer: die Kommutativität der Addition
> Wars das jetzt oder folgen bei der Addition jetzt noch
> weitere Schritte, wie z.B Distributivgesetz usw?
Na, du musst entweder die ganzen Axiome eines Körpers abklappern:
(1) [mm](\IK,+)[/mm] ist abelsche Gruppe
(abelsch hat Roadrunner gemacht bleibt der ganze Rest)
(2) [mm](\IK\setminus\{0\},\cdot{})[/mm] ist abelsche Gruppe
(3) Distributivgesetz(e) (eines reicht dann wegen der Kommutativität von [mm]+[/mm] und [mm]\cdot{}[/mm]
So hatte ich den Anfang deines Satzes mit dem Prof interpretiert.
Allerdings kannst du [mm]K[/mm] auch als Teilmenge von [mm]\IR[/mm] auffassen und brauchst dann "nur" die ganzen Kriterien für Teil- oder Unterkörper abzuklappern.
Auch darauf, dass man [mm]K\subseteq\IR[/mm] annehmen kann, deutest du in dem erwähnten Satz hin.
Wie du es nun weiter angehst, bleibt deiner Interpretation deines Satzes vorbehalten.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Sa 30.10.2010 | | Autor: | emulb |
Hallo Schachuzipus
theoretisch muss ich die Körperaxiome nachweisen.
ich muss ja dann eigentlich nur die reellen zahlen aus den rationalen nehmen (also die, die übereinstimmen). oder?
wenn ja, was nehme ich als c? bei (a+b)+c ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Sa 30.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich vermute, du kommst hier mit der Bezeichnung durcheinander, da in der Definition des Körpers a und b auftauchen und in dem zu zeigenden Axiomen auch. Diese sind aber nicht identisch.
Zeige also das Axiom r+(s+t)=(t+s)+t, mit
[mm] r=a_{r}+b_{r}\wurzel{2}, s=a_{s}+b_{s}\wurzel{2} [/mm] und [mm] t=a_{t}+b_{t}\wurzel{2}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Sa 30.10.2010 | | Autor: | emulb |
danke aber ich komm trotzdem nicht drauf.
ich lass es jetzt einfach.
trotzdem danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Sa 30.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> danke aber ich komm trotzdem nicht drauf.
> ich lass es jetzt einfach.
Das ist die falsche Einstellung.
>
> trotzdem danke
Zu zeigen ist, dass
$ [mm] ((a_{r}+b_{r}\wurzel{2})+(a_{s}+b_{s}\wurzel{2}))+(a_{t}+b_{t}\wurzel{2}) [/mm] $
$ [mm] \gdw ((a_{r}+a_{s})+(b_{r}+b_{s})\wurzel{2})+(a_{t}+b_{t}\wurzel{2}) [/mm]
$
Jetzt fome das mal um, bis du auf
$ [mm] (a_{r}+b_{r}\wurzel{2})+((a_{s}+b_{s}\wurzel{2})+(a_{t}+b_{t}\wurzel{2})) [/mm] $
kommst.
Marius
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