autonome? DGL monoton steigend < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] $f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ [/mm] und [mm] $x_0\in\mathbb{R}^n.$ [/mm] Das Problem [mm] $$x'(t)=\nabla [/mm] f(x(t)) [mm] \mbox{ für } t\in[0,\infty)$$
[/mm]
[mm] $$x(0)=x_0$$
[/mm]
besitze eine globale Lösung [mm] $x\in \mathcal{C}^1([0,\infty),\mathbb{R}^n).$ [/mm] Beweisen Sie:
a) Die Funktion [mm] $\varphi :[0,\infty)\to \mathbb{R},t\mapsto [/mm] f(x(t))$ ist monoton steigend.
b) Gilt [mm] $\limes_{t\to \infty}x(t)=x^\ast [/mm] $, so ist [mm] $\nabla f(x^\ast [/mm] )=0.$ |
Guten Abend,
ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe, komme jedoch einfach auf keinen Grünen Zweig.
Handeslt es sich hier um eine autonome DGL?
Für autonome DGL habe ich einen Beweis gefunden, der zeigt, dass jede Autonome DGL monoton ist.
Aber hierzu fehlt mir einfach der Ansatz.
Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben, wie ich das angehen kann.
Vielen Dank
LG
Dudi
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Hi,
ich beschäftige mich mit der selben Aufgabe, aber komme nicht weiter.
Hat vielleicht noch jemand einen Tipp.
Gruß
maganta-steve
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 23.09.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:21 Mo 25.09.2017 | | Autor: | fred97 |
Es ist also
[mm] $\varphi(t)=f(x(t))$ [/mm] und somit
[mm] $\varphi'(t)= \nabla [/mm] f(x(t))*x'(t) $, wobei $*$ das übliche Skalarprodukt auf [mm] \IR^n [/mm] bezeichne.
Wegen $ [mm] x'(t)=\nabla [/mm] f(x(t)) [mm] \mbox{ für } t\in[0,\infty) [/mm] $ bekommen wir
[mm] $\varphi'(t)=||x'(t)||^2 \ge [/mm] 0$.
Hilft das ?
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Hi,
ja danke, das hat mir sehr weiter geholfen.
Bzgl. b)
x* ist ja eine Konstante, deswegen ist der Gradient der Konstante = 0 oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:21 Mi 21.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]$f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$[/mm] und
> [mm]$x_0\in\mathbb{R}^n.$[/mm] Das Problem [mm]x'(t)=\nabla f(x(t)) \mbox{ für } t\in[0,\infty)[/mm]
>
> [mm]x(0)=x_0[/mm]
> besitze eine globale Lösung [mm]x\in \mathcal{C}^1([0,\infty),\mathbb{R}^n).[/mm]
> Beweisen Sie:
> a) Die Funktion [mm]\varphi :[0,\infty)\to \mathbb{R},t\mapsto f(x(t))[/mm]
> ist monoton steigend.
> b) Gilt [mm]\limes_{t\to \infty}x(t)=x^\ast [/mm], so ist [mm]\nabla f(x^\ast )=0.[/mm]
>
> Guten Abend,
> ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe, komme
> jedoch einfach auf keinen Grünen Zweig.
> Handeslt es sich hier um eine autonome DGL?
Ja, setze g:= [mm] \nabls [/mm] f. Dann lautet Deine DGL:
(*) x'=g(x)
> Für autonome DGL habe ich einen Beweis gefunden, der
> zeigt, dass jede Autonome DGL monoton ist.
Unsinn ! Nicht die DGL ist monoton, sondern Lösungen x von (*)
FRED
> Aber hierzu fehlt mir einfach der Ansatz.
> Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben, wie ich
> das angehen kann.
>
> Vielen Dank
> LG
> Dudi
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