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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Di 05.12.2006 | | Autor: | nazgul |
| Aufgabe | ||x + $ [mm] y||²=\summe_{i=1}^{n}(x_i+y_i)^2 [/mm] $ ("Komponenten zum Quadrat"),
||x − $ [mm] y||²=\summe_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2 [/mm] $
Ausmultiplizieren und Summen zusammenfassen |
Hallo
und vorab schon danke für Eure Hilfe.
ich weiß, eigentlich nicht schwer, habe mich aber etliche Stunden daran versucht und leider nur Quatsch rausbekommen.
Wäre über einen Anstoß sehr dankbar.
Beste Grüße Nazgul
achso:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich weiß jetzt nicht genau, was hier überhaupt die Aufgabe ist. Aber vermutlich sollst du ausmultiplizieren (binomische Formel) und die Summen auseinanderziehen und nicht zusammenfassen:
[mm]\sum_{i=1}^n~\left( x_i + y_i \right)^2 = \sum_{i=1}^n~\left( x_i^2 + y_i^2 + 2x_i y_i \right) = \sum_{i=1}^n~x_i^2 \ + \sum_{i=1}^n~y_i^2 \ + \ 2 \sum_{i=1}^n~x_i y_i[/mm]
Und die erste Summe ist hier [mm]\left\| x \right\|[/mm], entsprechend die zweite. Und die dritte Summe ist das doppelte Skalarprodukt von [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm].
Andererseits folgt das Ganze auch direkt aus den Eigenschaften eines Skalarproduktes, denn es gilt ja
[mm]\left\| x \right\|^2 = \langle x \, , \, x \rangle[/mm]
Und das kann man auf [mm]\left\| x + y \right\|^2 = \langle x + y \, , \, x + y \rangle[/mm] unmittelbar anwenden (binomische Formel für das Skalarprodukt).
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