aufgabe mündliche prüfung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:01 Mi 21.06.2006 | | Autor: | tommy123 |
könnte mir bitte jemand beim lösen dieser aufgabenstellung helfen? stehe echt aufm schlauch! thx voraus!!
Aufgabe:
Die Funktion f(x)= [mm] |^X [/mm] kann auch mit der Funktion g(x)= 4/5x + 4/15 beschrieben werden.
Welche Abweichung entsteht im Grenzbereich I=[1;0].
|^ = Wurzel
[mm] |^X [/mm] = Wurzel von "X".
1. Zeichne eine Zkizze beider Funktionen
2. An welcher Stelle ist die größte Abweichung?
3. Wie groß ist die Abweichung?
4. Begründe deine Zkizze und Rechnung. <--- unsicher ob das so gefragt war.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo tommy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Reden wir hier wirklich über die beiden Funktionen $f(x) \ = \ [mm] \wurzel{x}$ [/mm] und $g(x) \ = \ [mm] \bruch{4}{5}*x+\bruch{4}{15}$ [/mm] ??
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für die gesuchte maximale Abweichung musst Du die Differenzfunktion $d(x) \ = \ g(x)-f(x)$ bilden und eine entsprechende Extremwertberechnung durchführen (Nullstellen der 1. Ableitung $d'(x)_$ etc.).
Allerdings musst Du hier auch noch die beiden Ränder des vorgegebenen Intervalles mit [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}d(x) [/mm] \ = \ d(0)$ bzw. [mm] $\limes_{x\rightarrow 1}d(x) [/mm] \ = \ d(1)$ betrachten, ob nicht dort die maximale Abweichung vorliegt.
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:26 Mi 21.06.2006 | | Autor: | tommy123 |
ja das sind genau die funktionen die ich meine! schonmal danke für die schnelle hilfe!
könntest du mir vielleicht noch bei der weiteren berechnung helfen? und wie bekomme ich raus an welcher stelle die maximal gesuchte abweichung ist?
gruß tommy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo tommy!
Hast Du denn mal die Ableitung der Differenzfunktion $d(x)_$ gebildet?
$d(x) \ = \ g(x)-f(x) \ = \ [mm] \bruch{4}{5}*x+\bruch{4}{15}-\wurzel{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{5}*x+\bruch{4}{15}-x^{\bruch{1}{2}}$ [/mm]
Wie lautet diese? Und von dieser Ableitung $d'(x)_$ dann die Nullstelle(n) bestimmen ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Mi 21.06.2006 | | Autor: | tommy123 |
$ d'(x)_ [mm] $=\bruch{4}{5}- \bruch{1}{2} x^{-0,5}
[/mm]
hoffe das stimmt so weit?
wie bekomme ich aber die nullstellen bei [mm] \bruch{1}{2} x^{-0,5} [/mm] raus?
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Hallo tommy!
> [mm]d'(x)_[/mm][mm] =\bruch{4}{5}- \bruch{1}{2} x^{-0,5}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
Nun müssen wir also lösen:
[mm] $\bruch{4}{5}- \bruch{1}{2}*x^{-0,5} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{5}- \bruch{1}{2*\wurzel{x}} [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\gdw$ $\bruch{4}{5} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x}}$
[/mm]
Multipliziere diese Gleichung nun mit [mm] $\bruch{5}{4}*\wurzel{x}$ [/mm] und quadriere anschließend.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mi 21.06.2006 | | Autor: | tommy123 |
sorry, aber da komme ich irgendwie nicht weiter, dieses [mm] \wurzel{x} [/mm] iritiert mich total!
könntest du mir vielleicht mal die komplette lösung der aufgaben stellung posten? so könnte ich es wahrscheinlich am besten nachvollziehen!
wäre/bin dir sehr dankbar für deine hilfe!
gruß tommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Mi 21.06.2006 | | Autor: | jerry |
hallo tommy,
also du hattest bereits die ableitung [mm] \frac{4}{5}-\frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}
[/mm]
so jetzt machen wir die schritte die roadrunner dir bereits vorschlug:
zur nullstellenbestimmung setzen wir die ableitung nun gleich 0.
[mm] \frac{4}{5}-\frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}=0
[/mm]
jetzt müssen wir nach x auflösen. bei [mm] \sqrt{x} [/mm] gehst du eigentlich gleich vor. du isolierst erstmal das wurzel x und quadrierst dann.
[mm] \frac{4}{5}=\frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}
[/mm]
nun bringst du wurzel x auf die linke seite und 4/5 auf die rechte
[mm] \sqrt{x}=\frac{5}{8}
[/mm]
nun also quadrieren:
[mm] x=\frac{25}{64}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] die Funktion hat bei x eine Extremstelle. dh die abweichung wird hier maximal oder minimal. nun musst du noch prüfen, ob es wirklich ein maxium ist. dies kannst du entweder durch den vorzeichenwechsel an diesem x bei der 1. ableitung oder am vorzeichen der zweiten ableitung an diesem x feststellen. probier das mal.
die größe der abweichung erhälst du in dem du einfach deine errechnete maximalstelle in die differenzfunktion einsetzt.
gruß benjamin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Mi 21.06.2006 | | Autor: | tommy123 |
okay, ich habe jetzt in die zweite ableitung $ d''(x)_ $= [mm] \bruch{1}{4} x^{-1.5} [/mm] den erechneten x wert ein gesetzt und bekomme 1,024 raus, was bedeutet das es ein tp ist da größer null!? müsste es aber nicht eigentlich ein hochpunkt (maximum sein)?
bei der größe der abweichung bekomme ich -0,045814698 raus! kann das sein?
danke für die hilfe
gruß tommy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Mi 21.06.2006 | | Autor: | jerry |
die rechnung war richtig, das umgedrehte vorzeichen kommt daher, dass f(x) in dem bereich größer ist als g(x).
oben haben wir aber d(x) mit g(x)-f(x) eingeführt.
um den positiven abstand zu haben sollte man f(x)-g(x) wählen.
damit ändern sich die ableitungen ein wenig und du bekommst -1,024 heraus.
so müßte es nun stimmen, denn die ableitungen waren richtig soweit.
aber im prinzip is es auch andersherum lösbar, man muss dann halt drauf achten, ob man einen hochpunkt oder tiefpunkt braucht. von den zahlenwerten dürfte sich nichts ändern.
gruß benjamin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Mi 21.06.2006 | | Autor: | tommy123 |
okay ... das kann ich nachvollziehen!
danke für die schnelle und freundlich hilfe!
gruß tommy
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