auf ganz R differenzierbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 So 10.01.2010 | | Autor: | bestduo |
Es soll gezeigt werden, dass die Funktion
f(x) :=| x²sin(1/x), x>0
| 0, x [mm] \le [/mm] 0
von x²sin(1/x) könnte man ja die Ableitung bestimmen für x>0 aber wie mache ich das für ganz R? Und wie wäre der Ansatz für die Stetigkeit in Null?
Danke
|
|
| |
|
Hallo bestduo,
> Es soll gezeigt werden, dass die Funktion
>
> $f(x) [mm] :=\begin{cases} x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } x\le 0 \end{cases}$
[/mm]
>
> von x²sin(1/x) könnte man ja die Ableitung bestimmen für
> x>0 aber wie mache ich das für ganz R?
> Und wie wäre der Ansatz für die Stetigkeit in Null?
Geht es nun um Stetigkeit oder Differenzierbarkeit (wie in der Überschrift)
Wie dem auch sei, außerhalb von 0 ist die Funktion als Komposition von diffbaren Funktionen diffbar und damit stetig.
Bleibt nur die Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] zu untersuchen.
Falls es um Stetigkeit geht, bedenke, dass [mm] $\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|\le [/mm] 1$ für [mm] $x\neq [/mm] 0$
Also für $x>0$ : [mm] $|f(x)-f(0)|=\left|x^2\cdot{}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|\le x^2$ [/mm] ...
Für $x<0$ ist's trivial ...
Falls es doch um Diffbarkeit geht, stelle den Diffenrenzenquotienten auf und schaue, ob der linksseitige und der rechtsseitige Limes desselben existieren und ob sie gleich sind ...
>
> Danke
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 So 10.01.2010 | | Autor: | bestduo |
Ja ich habe vergessen was ind ie Aufgabe rein zu schreiben.sry.
und zwar soll ich zeigen, dass die Funktion für ganz R diffbar ist. für x>0 ist es klar aber wie mache ich das für x<0 ? und es geht nur um die stetigkeit der Ableitung im Punkt Null
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ja ich habe vergessen was ind ie Aufgabe rein zu
> schreiben.sry.
>
> und zwar soll ich zeigen, dass die Funktion für ganz R
> diffbar ist. für x>0 ist es klar aber wie mache ich das
> für x<0 ?
Für [mm] $x\le [/mm] 0$ ist doch $f(x)=0$, also $f'(x)=0$
Ansonsten stelle doch einfach den Differenzenquotienten auf:
[mm] $\lim\limits_{h\to 0, h<0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0, h<0}\frac{0-0}{h}=\lim\limits_{h\to 0, h<0}0=0$
[/mm]
> und es geht nur um die stetigkeit der Ableitung
> im Punkt Null
Nun linksseitig ist $f'(x)=0$, rechtsseitig [mm] $f'(x)=2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right)$
[/mm]
Kennst du das Folgenkriterium der Stetigkeit?
Bastel dir eine passende Nullfolge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$, [/mm] für die [mm] $f'(x_n)$ [/mm] nicht gegen $0$ strebt, die dir also die Stetigkeit kaputt macht.
Was mit [mm] $\pi$ [/mm] ist sicher hilfreich ...
Hilft das?
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 So 10.01.2010 | | Autor: | bestduo |
Also erst mal danke für deine Antwort!
Also das mit der Differenzierbarkeit ist mir jetzt klar. Ich war nur unsicher wenn f'(x) = 0, ob das auch heißt, dass die Funktion diffbar ist.
hmmm also das mit der Stetigkeit verstehe ich nicht ganz. Soll ich irgendeine Nullfolge nehmen? Aber was für einen Bezug hat das dann auf die Aufgabe?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Also erst mal danke für deine Antwort!
> Also das mit der Differenzierbarkeit ist mir jetzt klar.
> Ich war nur unsicher wenn f'(x) = 0, ob das auch heißt,
> dass die Funktion diffbar ist.
Für $x<0$ ja. Für $x>0$ auch und in $x=0$ hast du's doch auch schon gezeigt, oder?
linksseitig: [mm] $\lim\limits_{h\to 0, h<0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0, h<0}\frac{0-0}{h}=0$
[/mm]
rechtsseitig: [mm] $\lim\limits_{h\to 0, h>0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0, h>0}\frac{h^2\cdot{}\sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h}=\lim\limits_{h\to 0, h>0}h\cdot{}\text{was Beschränktes}=0$
[/mm]
>
> hmmm also das mit der Stetigkeit verstehe ich nicht ganz.
> Soll ich irgendeine Nullfolge nehmen? Aber was für einen
> Bezug hat das dann auf die Aufgabe?
Du willst doch zeigen, dass die Ableitung in $x=0$ unstetig ist.
Es ist für [mm] $x\le [/mm] 0 \ \ \ f'(x)=0$ und für $x>0 \ \ \ [mm] f'(x)=2x\sin(...)-\cos(...)$
[/mm]
Damit ist die Ableitung in [mm] $x_0=0$ [/mm] linksseitig trivialerweise stetig und nimmt den Wert 0 an.
Du musst nun zeigen, dass das rechtsseitig nicht klappt.
Dazu verwende am einfachsten das Folgenkriterium der Stetigkeit und finde eine Folge wie ich es oben bereits gesagt habe.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 So 10.01.2010 | | Autor: | bestduo |
muss ich das mit dem Differnezenwoutienten rechtsseitig zeigen? Kann ich das auch mit der Quotientenregel zeigen? f'(x)= u'v+uv'? Ich kriege auch dieselbe Ableitung raus?
Bei der Stetigkeit habe ich jetzt folgendes Kriterium rausgefunden: f ist stetig in [mm] x_{o} [/mm] wenn x [mm] \to x_{o} [/mm] und
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_{o}} [/mm] f(x)= [mm] f(x_{o}). [/mm] Jetzt muss ich das zeigen, dass in [mm] x_{o}=0 [/mm] f nicht stetig ist?
Ich verstehe iwi nicht welche Folge ich dazu betrachten muss?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> muss ich das mit dem Differnezenwoutienten rechtsseitig
> zeigen? Kann ich das auch mit der Quotientenregel zeigen?
> f'(x)= u'v+uv'? Ich kriege auch dieselbe Ableitung raus? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo, nur in [mm] $x_0=0$ [/mm] solltest du das mit dem DQ zeigen
>
>
> Bei der Stetigkeit habe ich jetzt folgendes Kriterium
> rausgefunden: f ist stetig in [mm]x_{o}[/mm] wenn x [mm]\to x_{o}[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{o}}[/mm] f(x)= [mm]f(x_{o}).[/mm] Jetzt muss ich
> das zeigen, dass in [mm]x_{o}=0[/mm] f nicht stetig ist?
Genau, es geht ja um die Stelle [mm] $x_0=0$
[/mm]
Linksseitig ist es doch klar, für [mm] $x\le [/mm] 0$ ist $f'(x)=0$, also [mm] $\lim\limits_{x\uparrow 0}f'(x)=0=f'(x_0)$
[/mm]
Kritisch ist es rechtsseitig, also von oben kommend:
Es gilt eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n>0$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] zu finden mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0=x_0$, [/mm] aber [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}f'(x_n)\neq [/mm] 0=f'(0)$
>
> Ich verstehe iwi nicht welche Folge ich dazu betrachten
> muss?
Ich hatte es doch geschrieben, alles will ich ja auch nicht verraten.
Wegen der Sinus- und Cosinusterme in $f'(x)$ (für $x>0$) solltest du ein bisschen mit [mm] $\pi$ [/mm] und den Nullstellen von Sinus und Cosinus basteln und probieren. Eine solche Folge fällt meist nicht vom Himmel, sondern erfordert ein bissl Schmierpapier und Kugelschreiberschmiere ...
Versuche mal die Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{1}{2n\pi}\right)_{n\in\IN}$
[/mm]
Die strebt ja sicher für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen 0
Wie sieht's mit [mm] $f'(x_n)$ [/mm] aus?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 10.01.2010 | | Autor: | bestduo |
Ich meine bei der Stetigkeit, dass wenn man 0 einsetzt es nicht definierbar ist. so meinte ich das^^
|
|
|
|
