auf I injektive Funktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 So 09.12.2007 | | Autor: | bonczi |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es auf einem Intervall I definierte injektive Funktionen f:I [mm] \to \IR [/mm] gibt, die nicht monoton sind. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute, bin neu hier und im 1. Semester...
Irgendwie verstehe ich den Zusammenhang nicht zwischen der Injektivität der Funktionen und der Monotonie. Vielleicht könnte mir jemand einen Denkanstoß geben...
Also die Injektivität besagt ja, dass
[mm] x_{1} \not= x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \not= f(x_{2}) [/mm] und
[mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
und streng monoton bedeutet ja, dass
[mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) [/mm] < [mm] f(x_{2}) [/mm] oder
[mm] x_{1} [/mm] > [mm] x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) [/mm] > [mm] f(x_{2})
[/mm]
Wie beziehe ich das jetzt genau auf das Intervall.. Ich checks einfach nicht.
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Hi,
> Zeigen Sie, dass es auf einem Intervall I definierte
> injektive Funktionen f:I [mm]\to \IR[/mm] gibt, die nicht monoton
> sind.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Leute, bin neu hier und im 1. Semester...
> Irgendwie verstehe ich den Zusammenhang nicht zwischen der
> Injektivität der Funktionen und der Monotonie. Vielleicht
> könnte mir jemand einen Denkanstoß geben...
> Also die Injektivität besagt ja, dass
> [mm]x_{1} \not= x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \not= f(x_{2})[/mm] und
> [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm]
>
> und streng monoton bedeutet ja, dass
> [mm]x_{1}[/mm] < [mm]x_{2} \Rightarrow f(x_{1})[/mm] < [mm]f(x_{2})[/mm] oder
> [mm]x_{1}[/mm] > [mm]x_{2} \Rightarrow f(x_{1})[/mm] > [mm]f(x_{2})[/mm]
>
> Wie beziehe ich das jetzt genau auf das Intervall.. Ich
> checks einfach nicht.
loese dich mal ein wenig von den definitionen und stelle dir diese eigenschaften anschaulich vor: was bedeutet injektiv, was monoton?
nimm mal ganz einfache beispiele: [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] und [mm] $f(x)=x^3$. [/mm] sind diese fkten. injektiv/monoton auf [mm] $\mathbb{R}$?
[/mm]
wenn du soweit bist, suche nach einem gegenbeispiel: eine fkt., die injektiv aber nicht monoton ist. tip: suche bei den unstetigen fkten..
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:55 Mo 10.12.2007 | | Autor: | bonczi |
also [mm] x^{2} [/mm] ist ja surjektiv, aber nicht streng monoton und [mm] x^{3} [/mm] ist bijektiv und streng monoton.
eine unstetige injektive funktion wäre [mm] x^{-2} [/mm] und die ist ja nicht monoton...
aber ich kann doch etwas nicht beweisen, indem ich ein beispiel dafür angebe oder???
ich muss den beweis doch mithilfe der definitionen führen..
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> eine unstetige injektive funktion wäre [mm]x^{-2}[/mm] und die ist
> ja nicht monoton...
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Diese Funktion ist nicht unstetig. Sie ist an allen definierten Stellen stetig.
Auf ganz [mm] \IR [/mm] betrachtet ist sie nicht monoton, aber wenn Du jetzt Intervalle betrachtest, die ganz im pos. oder neg. Bereich liegen, ja schon.
>
> aber ich kann doch etwas nicht beweisen, indem ich ein
> beispiel dafür angebe oder???
Die Aufgabe lautet:
>>> Zeigen Sie, dass es auf einem Intervall I definierte injektive Funktionen f:I $ [mm] \to \IR [/mm] $ gibt, die nicht monoton sind.
Daß es so etwas gibt, kannst Du hervorragend zeigen, indem Du einfach ein Beispiel aus der Tasche ziehst.
Dein obiges ist allerdings untauglich.
Mach Dir's doch nicht so schwer, Du hast ja vor dem Studium eine Schule besucht, und von dort weißt Du doch, daß unstetige Funktionen solche sind, die springen.
Nun nimm Dir irgendein Intervall, z.B. I:=[0,10]
Eine injektive stetige Funktion auf diesem Intervall fällt Dir ein, nehmen wit z.B.
[mm] f:I\to \IR
[/mm]
[mm] f(x):=x^2.
[/mm]
So, jetzt kommst's. Jetzt nimmst Du Dein Hackebeil, zerhackst diese Funktion und schiebst den zweiten Funktionsabschnitt um 1 nach oben.
Worauf ich hinauswill: definiere eine neue Funktion g auf I abschnittweise durch
[mm] g(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } ... \\ f(x)+..., & \mbox{für } ... \end{cases}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Mo 10.12.2007 | | Autor: | bonczi |
Dankeschön für deine Antwort ;) jetzt weiß ich was mit definierten injektiven funktionen in der aufgabenstellung gemeint war.
>So, jetzt kommst's. Jetzt nimmst Du Dein Hackebeil, zerhackst diese
>Funktion und schiebst den zweiten Funktionsabschnitt um 1 nach oben.
>Worauf ich hinauswill: definiere eine neue Funktion g auf I
>abschnittweise durch ...
das ist mir irgendwie unverständlich, welchen zweiten funktionsabschnitt? kannst du das vielleicht irgendwie genauer erläutern, worauf du hinaus willst? ich verstehs einfach nicht...
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> >Worauf ich hinauswill: definiere eine neue Funktion g auf
> I
> >abschnittweise durch ...
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> das ist mir irgendwie unverständlich, welchen zweiten
> funktionsabschnitt? kannst du das vielleicht irgendwie
> genauer erläutern, worauf du hinaus willst? ich verstehs
> einfach nicht...
Hallo,
eigentlich hab ich's doch schon recht genau gesagt.
Teil Dein Intervall [0,10] irgendwo, z.B. an der Stelle x=3.
Und nun sagst Du:
Im Bereich von 0 bis einschließlich 3 soll meine neue Funktion g dieselben Werte haben wie f, und im Bereich von 3 (exkl.) bis einschließlich 10 soll der Funktionswert v. g immer eins größer sein als der v. f.
Zeichne Dir diese Funktion doch mal auf. Zeichne erst die stetige, injektive Funktion f im Intervall [0,1], und dann zeichne die Funktion g ein. g springt, ist also nicht stitig, aber sie ist monoton wachsend.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mo 10.12.2007 | | Autor: | bonczi |
ja aber ich verstehe den hintergrund nicht genau, warum man das jetzt machen soll...
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> ja aber ich verstehe den hintergrund nicht genau, warum man
> das jetzt machen soll...
Damit Du erreichst, was Du erreichen willst.
Wenn Du im hinteren Teilintervall den Graphen "anhebst, hochschiebst", hast Du aus der monotonen stetigen Funktion f auf I eine monotone nichtstetige Funktion gebaut, der Graph besteht nun aus zwei nichtzusammenhängenden Teilstücken.
Du kannst den Effekt natürlich auch anders erreichen, ich habe Dir nur gesagt, wie Du es beispielweise machen könntest.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Mo 10.12.2007 | | Autor: | bonczi |
danke für deine hilfe. tut mir leid, dass ich so schwer von begriff bin...
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> danke für deine hilfe. tut mir leid, dass ich so schwer von
> begriff bin...
Ich hätte es schon gerne, daß Du es begreifen würdest.
Hast Du es begriffen?
Wie sieht das denn jetzt aus, wenn Du tust, was ich sage:
"Nun nimm Dir irgendein Intervall, z.B. I:=[0,10]
Eine injektive stetige Funktion auf diesem Intervall fällt Dir ein, nehmen wit z.B.
$ [mm] f:I\to \IR [/mm] $
$ [mm] f(x):=x^2. [/mm] $
So, jetzt kommst's. Jetzt nimmst Du Dein Hackebeil, zerhackst diese Funktion bei x=3 und schiebst den zweiten Funktionsabschnitt um 1 nach oben.
Worauf ich hinauswill: definiere eine neue Funktion g auf I abschnittweise durch
$ [mm] g(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } 0\lex \le 3 \\ f(x)+1& \mbox{für } 3
Hast Du Dir die Funktion g jetzt mal angeschaut?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Mo 10.12.2007 | | Autor: | bonczi |
so habs jetzt endlich begriffen. mir wurde erklärt, dass ich diesen satz beweisen kann, indem ich eine unstetige funktion wähle und von dieser dann die monotonie und injektivität prüfe.
also die unstetige funktion ist [mm] f(x)=\bruch{1}{x^{2}} [/mm] für x<0 und f(x)=-x für x [mm] \ge [/mm] 0
wenn ich jetzt die monotonie prüfe, für x,y [mm] \ge [/mm] 0 und x,y<0 bekomme ich heraus, dass sie nicht streng monoton ist
und wenn ich jetzt noch die injektivität für x,y [mm] \ge [/mm] 0 und x,y<0 prüfe, kommt heraus, dass sie injektiv ist
(will das jetzt hier nich im detail aufschreiben, ist zuviel schreibkrams.)
und damit habe ich es bewiesen.
danke für deine hilfe angela ;)
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