asymptotische Konvergenz < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien [mm] X_1,...X_n [/mm] i.i.d mit zweiseitiger Exponentialverteilung (Dichte [mm] f_\theta(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}e^{-|x-\theta|} [/mm] )
[mm] \theta_n^1=\overline{X_n} [/mm] bezeichne das Stichprobenmittel.
[mm] \theta_n^2=X_{([\frac{n+1}{2}])} [/mm] eine mögliche Definition des Stichprobenmedians.
Begründe, dass beide Schätzer asymptotisch normalverteilt sind mit
[mm] \wurzel{n}(\theta_n^1 [/mm] - [mm] \theta) \to [/mm] N(0,c) in Verteilung
[mm] \wurel{n}(\theta_n^2 [/mm] - [mm] \theta) \to [/mm] N(0,d) in Verteilung.
Bestimme die sogenannte asymptotische Effizienz [mm] \frac{c}{d} [/mm] des Stichprobenmedians gegenüber dem Stichprobenmittel. |
Hallo,
ich habe bei dieser Aufgabe das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich da ran gehen soll. Setze ich die nur die Definition für Verteilungskonvergenz ein und überprüfe das dann oder gibt es da einen Satz, der mir weiterhilft?
Wir haben in der Vorlesung folgenden Satz durchgenommen:
[mm] X_1,..X_n [/mm] seien reellwertig mit stetig differenzierbarer streng monoton wachsender Verteilungsfunktion F,
[mm] r_n [/mm] sei N-wertige Zahlenfolge mit [mm] r_n/n [/mm] = [mm] u/\wurzel{n} [/mm] + p + [mm] o(1/\wurzel{n}), [/mm] 0 < p < 1, [mm] f(F^{-1}(p)))>0, [/mm] wobei f=F', [mm] \xi_p=F^{-1}(p).
[/mm]
Dann gilt [mm] \wurzel{n}(X_{(r_n)} [/mm] - [mm] \xi_p) \to N(\frac{u}{f(\xi_p)},\frac{p(1-p)}{f(\xi_p)^2}).
[/mm]
Kann mir dieser Satz weiterhelfen und wenn ja, wie?
Vielen Dank
Maike
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 12.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
