assoziierte Norm bei Polynomen < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:58 Di 11.01.2011 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Raum der Polynome [mm] \IR_{\le2}[x] [/mm] mit dem Skalarprodukt
[mm] _{P}:=\integral_{-1}^{1}{p(x)q(x) dx}
[/mm]
Berechne die Norm bzgl. des Skalarprodukts <.,.> der Polynome:
[mm] p_{1}(x)=1 [/mm]
[mm] p_{2}(x)=x^{2}-\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] ||p_{1}||_{P}= [/mm] ?
[mm] ||p_{2}||_{P}= [/mm] ? |
Ich bin mal wieder ein bisschen am Zweifeln!
Aber vorweg: mit Vektoren habe ich mit diesem Thema überhaupt kein Problem!
Ich weiß, dass (ich beziehe mich jetzt mal nur auf Vektoren, da ich ja das mit den Polynomen nicht auf die Reihe kriege) das Skalarprodukt sich wie folgt "definiert"/berechnen lässt,...:
[mm] <\vec{u},\vec{v}>:=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+...+u_{n}v_{n}
[/mm]
An einem Beispiel:
[mm] <\vektor{2 \\ -1},\vektor{3 \\ 1}>=2*3+(-1)*1=5
[/mm]
Ebenso weiß ich auch, was unter dem Begriff "Norm" zu verstehen ist!
[mm] ||\vec{u}||:=\wurzel{<\vec{u},\vec{u}>} \gdw ||\vec{u}||:=\wurzel{u_{1}*u_{1}+u_{2}*u_{2}+...+u_{n}*u_{n}}
[/mm]
Wieder ein simples Beispiel:
[mm] ||\vektor{2 \\ 3}||=\wurzel{2*2+3*3}=\wurzel{13}
[/mm]
Auch mit zwei Vektoren weiß ich, was ich machen soll! Logisch!
Auch mit dem Gram-Schmidt-Verfahren habe ich keine Probleme!
Ich weiß, wie ich einen Vektor normiere, anschließend das Lot fälle und somit Schritt für Schritt auf meine ONB komme!
Sowohl im [mm] \IR^{2} [/mm] als auch im [mm] \IR^{3} [/mm] Raum!
Ich habe mich auch schon mit den Chebyshev-Polynomen beschäftigt (wobei das momentan noch nicht wichtig ist für den aktuellen Stand) und auch mit den Legendre-Polynomen.
Und ich vermute, dass es etwas mit diesem Legendre-Polynom zu tun hat. Aber auch nur deshalb, weil die Definition mich sehr an die Aufgabenstellung erinnert.
Das Legendre-Polynom wird doch wie folgt definiert, oder?
[mm] :=\integral_{-1}^{1}{p(x)q(x) dx}
[/mm]
Und ich habe auch noch im Hinterkopf, dass die Länge - und das ist ja die Norm - 1 sein muss!
Und irgendwo habe ich gelesen, dass man quasi den Faktor "herausfinden" muss, damit das Skalarprodukt die Länge 1 annimmt!
Und manchmal steht auch anstatt des Integrals schon eine "nähere" Berechnung, wie man auf das Ergebnis kommt.
Beispielsweise:
<p,q>:=<ax+b,cx+d>=a*c+2*b*d
Und dann muss man aus diesem Ergebnis noch die Wurzel ziehen!
Aber mit der o. g. Aufgabenstellung kann ich einfach nichts anfangen!
Ich weiß nur - oder besser gesagt: ich vermute - dass "q" das normierte p ist.
Bei dem ersten roten Fragezeichen habe ich
[mm] ||p_{1}||_{P}=\wurzel{2} [/mm]
und das ist auch richtig!
Ich habe gerechnet:
[mm] \wurzel{1*1+1*1}=\wurzel{2}
[/mm]
Aber was mache ich mit dem Zweiten? Ich habe schon alles mögliche probiert, aber es ist immer falsch!
Und dann: was hat das tiefergestellte P für eine Bedeutung?
Ich kenne nur von der L1-Norm die tiefergestellte 1 oder von der Maximumsnorm das tiefergestellte max.
Kann mich bitte jemand aufklären?
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> Wir betrachten den euklidischen Raum der Polynome
> [mm]\IR_{\le2}[x][/mm] mit dem Skalarprodukt
>
> [mm]_{P}:=\integral_{-1}^{1}{p(x)q(x) dx}[/mm]
>
> Berechne die Norm bzgl. des Skalarprodukts <.,.> der
> Polynome:
>
> [mm]p_{1}(x)=1[/mm]
>
> [mm]p_{2}(x)=x^{2}-\bruch{1}{3}[/mm]
>
>
> [mm]||p_{1}||_{P}=[/mm] ?
>
>
> [mm]||p_{2}||_{P}=[/mm] ?
> Ich bin mal wieder ein bisschen am Zweifeln!
>
> Aber vorweg: mit Vektoren habe ich mit diesem Thema
> überhaupt kein Problem!
>
> Ich weiß, dass (ich beziehe mich jetzt mal nur auf
> Vektoren, da ich ja das mit den Polynomen nicht auf die
> Reihe kriege) das Skalarprodukt sich wie folgt
> "definiert"/berechnen lässt,...:
>
> [mm]<\vec{u},\vec{v}>:=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+...+u_{n}v_{n}[/mm]
>
> An einem Beispiel:
>
> [mm]<\vektor{2 \\ -1},\vektor{3 \\ 1}>=2*3+(-1)*1=5[/mm]
>
> Ebenso weiß ich auch, was unter dem Begriff "Norm" zu
> verstehen ist!
>
> [mm]||\vec{u}||:=\wurzel{<\vec{u},\vec{u}>} \gdw ||\vec{u}||:=\wurzel{u_{1}*u_{1}+u_{2}*u_{2}+...+u_{n}*u_{n}}[/mm]
>
> Wieder ein simples Beispiel:
>
> [mm]||\vektor{2 \\ 3}||=\wurzel{2*2+3*3}=\wurzel{13}[/mm]
>
> Auch mit zwei Vektoren weiß ich, was ich machen soll!
> Logisch!
>
> Auch mit dem Gram-Schmidt-Verfahren habe ich keine
> Probleme!
>
> Ich weiß, wie ich einen Vektor normiere, anschließend das
> Lot fälle und somit Schritt für Schritt auf meine ONB
> komme!
> Sowohl im [mm]\IR^{2}[/mm] als auch im [mm]\IR^{3}[/mm] Raum!
>
> Ich habe mich auch schon mit den Chebyshev-Polynomen
> beschäftigt (wobei das momentan noch nicht wichtig ist
> für den aktuellen Stand) und auch mit den
> Legendre-Polynomen.
>
> Und ich vermute, dass es etwas mit diesem Legendre-Polynom
> zu tun hat. Aber auch nur deshalb, weil die Definition mich
> sehr an die Aufgabenstellung erinnert.
>
> Das Legendre-Polynom wird doch wie folgt definiert, oder?
>
> [mm]:=\integral_{-1}^{1}{p(x)q(x) dx}[/mm]
>
> Und ich habe auch noch im Hinterkopf, dass die Länge - und
> das ist ja die Norm - 1 sein muss!
> Und irgendwo habe ich gelesen, dass man quasi den Faktor
> "herausfinden" muss, damit das Skalarprodukt die Länge 1
> annimmt!
>
> Und manchmal steht auch anstatt des Integrals schon eine
> "nähere" Berechnung, wie man auf das Ergebnis kommt.
>
> Beispielsweise:
>
> <p,q>:=<ax+b,cx+d>=a*c+2*b*d
>
> Und dann muss man aus diesem Ergebnis noch die Wurzel
> ziehen!
>
> Aber mit der o. g. Aufgabenstellung kann ich einfach nichts
> anfangen!
> Ich weiß nur - oder besser gesagt: ich vermute - dass "q"
> das normierte p ist.
>
> Bei dem ersten roten Fragezeichen habe ich
>
> [mm]||p_{1}||_{P}=\wurzel{2}[/mm]
>
> und das ist auch richtig!
>
> Ich habe gerechnet:
>
> [mm]\wurzel{1*1+1*1}=\wurzel{2}[/mm]
(wie kommst du zum Ausdruck 1*1+1*1 unter der Wurzel ?)
Du solltest doch das Skalarprodukt nach der gegebenen
Definition durch die Integration von [mm] (p_1(x))^2 [/mm] über dem
Intervall [-1..1] berechnen !
> Aber was mache ich mit dem Zweiten? Ich habe schon alles
> mögliche probiert, aber es ist immer falsch!
ebenfalls durch Integration:
$\ [mm] ||p_2||_P\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{\integral_{-1}^{+1}(p_2(x))^2\ dx}$
[/mm]
und dies nun ausrechnen !
> Und dann: was hat das tiefergestellte P für eine
> Bedeutung?
es besagt nur, dass es sich bei dem Skalarprodukt <p,q> um
ein speziell definiertes Skalarprodukt im Raum der Polynome (P)
handelt.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:15 Di 11.01.2011 | | Autor: | lexjou |
>ebenfalls durch Integration:
>
> $ \ [mm] ||p_2||_P\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{\integral_{-1}^{+1}(p_2(x))^2\ dx} [/mm] $
>
>und dies nun ausrechnen !
Könntest Du mir das nochmal explizit hinschreiben?
Danke!
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> >ebenfalls durch Integration:
> >
> > [mm]\ ||p_2||_P\ =\ \sqrt{\integral_{-1}^{+1}(p_2(x))^2\ dx}[/mm]
>
> >
> >und dies nun ausrechnen !
>
> Könntest Du mir das nochmal explizit hinschreiben?
> Danke!
Äh? Expliziter als das, was da schon steht? Da würde mir nur einfallen, in diese allgemeine Formel ein konkretes Polynom einzusetzen, z.B.
[mm] p_2(x) [/mm] = 1
[mm]\ ||1||_P\ =\ \sqrt{\integral_{-1}^{+1}1^2\ dx}[/mm]
Oder für dein anderes Polynom:
[mm] p_2(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{3}
[/mm]
[mm]\ ||p_2||_P\ =\ \sqrt{\integral_{-1}^{+1}(x^{2} - \frac{1}{3})^2\ dx}[/mm]
Mehr ist das nicht.... okay, Integrale ausrechnen, aber das ist bei Polynomen ja eher nicht ganz so schwierig.
lg weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Di 11.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Ach mein Gott ja natürlich! Oh wie peinlich!! Das Thema Stammfunktion gab es ja auch noch...
Ja... alles klar! Danke! Hab mich grad am Skalarprodukt so aufgehangen, dass ich nicht mehr davon loskam!
Danke!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Di 11.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo lexjou,
wahrscheinlich hast Du Dich einfach zu sehr auf die von der Schule her gängige Definition des Skalarprodukts im euklidischen Vektorraum (im [mm] \IR^2 [/mm] oder [mm] \IR^3 [/mm] zumal) eingeschossen.
Zur allgemeinen Definition schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Grüße
reverend
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