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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:59 So 14.12.2008 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | | Gib für die Funktion artanh Definitions- und Wertebereich an und drücke sie durch log aus. Berechne die Ableitung auf zwei Arten: mittels expliziter Formel und mittels Umkehrregel. |
tanh = sinh/cosh
Arthanh x = [mm] \bruch{1}{2}log \bruch{1+x}{1-x}, [/mm] für |x| < 1,
Definitionsbereich |x| < 1
wie komme ich auf den Wertebereich und wie drücke ich sie (die Funktion???)
mit log aus???
danke lg
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Hallo!
Du hast doch da eine Formel angegeben. Damit hat du den artanh doch bereits durch den LOG ausgedrückt.
Zum Wertebereich: Betrachte doch mal [mm] $\lim_{x\to \pm1} [/mm] artanh(x)$ an Hand des LOG-Ausdrucks. Was kommt da raus?
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okay muss ich dann mit log nichts mehr anderes machen oder??
und der wertebereich ist [mm] \IR
[/mm]
und ist die explizite Formel die "normale" oder was ist das???
danke lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 14.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 So 14.12.2008 | | Autor: | csak1162 |
wie leite ich
[mm] \bruch{1}{2}log(\bruch{1+x}{1-x}) [/mm]
ab???
danke lg
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> wie leite ich
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> [mm]\bruch{1}{2}log(\bruch{1+x}{1-x})[/mm]
>
> ab???
Zwei Möglichkeiten: Kettenregel und Quotientenregel
oder erst umformen:
[mm] \bruch{1}{2}\log{\left(\bruch{1+x}{1-x}\right)}=\bruch{1}{2}(\log{(1+x)}-\log{(1-x)})
[/mm]
und dann nur noch Kettenregel (viel einfacher...)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 So 14.12.2008 | | Autor: | csak1162 |
[mm] log_{a} [/mm] x
ist abgeleitet ja [mm] \bruch{1}{x log a}
[/mm]
kann man das da verwenden??
log(1-x) kommt dann irgendwie was anderes raus oder habe ich da was falsch??
[mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] kommt bei mir raus
und der rechner rechnet mir - [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] aus??
da kenn ich mich nicht mehr aus???
danke lg
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Hallo csak,
> [mm]log_{a}[/mm] x
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> ist abgeleitet ja [mm]\bruch{1}{x log a}[/mm]
>
> kann man das da verwenden??
>
> log(1-x) kommt dann irgendwie was anderes raus oder habe
> ich da was falsch??
>
> [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] kommt bei mir raus ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> und der rechner rechnet mir - [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] aus?? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> da kenn ich mich nicht mehr aus???
Du hast bei deiner Ableitung die innere Ableitung vergessen, also die von der inneren Funktion $1-x$, das ist $-1$
Also [mm] $\left[\ln(1-x)\right]'=\underbrace{\frac{1}{1-x}}_{\text{äußere Ableitung}} [/mm] \ [mm] \cdot{} [/mm] \ [mm] \underbrace{(-1)}_{\text{innere Abl.}}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{1-x}$
[/mm]
>
> danke lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 So 14.12.2008 | | Autor: | csak1162 |
okay wie mach ich das jetzt mit der umkehrregel??
[mm] (f^{-1})' [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'\circ f^{-1}}
[/mm]
das ist ja die Formel für die Umkehrregel
die umkehrfunktion vom log ist die exponentionfunktion, okay das wär das was ich bisher herausgefunden hab!
muss ich die umkehrregel für die artanh form oder für die log form nehmen????
danke lg
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Hallo csak,
> okay wie mach ich das jetzt mit der umkehrregel??
>
> [mm](f^{-1})'[/mm] = [mm]\bruch{1}{f'\circ f^{-1}}[/mm]
>
> das ist ja die Formel für die Umkehrregel
>
> die umkehrfunktion vom log ist die exponentionfunktion,
> okay das wär das was ich bisher herausgefunden hab!
>
> muss ich die umkehrregel für die artanh form oder für die
> log form nehmen????
Du sollst das ganz ohne den log machen.
Ausgeschrieben ist die Formel also
[mm] $artanh'(x)=\frac{1}{\tanh'(artanh(x))}$
[/mm]
Benutze die Definition [mm] $\tanh(z)=\frac{\sinh(z)}{\cosh(z)}$ [/mm] und den Zusammenhang zwischen den Ableitungen von [mm] $\sinh$ [/mm] und [mm] $\cosh$, [/mm] um die Ableitung von [mm] $\tanh(z)$ [/mm] im Nenner zu berechnen. (Quotientenregel)
Dann einfach einsetzen
>
>
>
> danke lg
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 So 14.12.2008 | | Autor: | csak1162 |
ich verstehe noch nicht das mit dem zusammenhang cosh und sinh!
also bis dahin dass der tanh(x) = cosh/sinh hab ich es verstanden
aber weiter leider nicht!
danke lg
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Hallo nochmal,
> ich verstehe noch nicht das mit dem zusammenhang cosh und
> sinh!
Leite dochmal [mm] $\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ [/mm] ab und dann [mm] $\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ [/mm] ...
>
> also bis dahin dass der tanh(x) = cosh/sinh hab ich es
> verstanden
Umgekehrt, [mm] $\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$
[/mm]
> aber weiter leider nicht!
Leite wie oben gesagt [mm] $\sinh(z)$ [/mm] und [mm] $\cosh(z)$ [/mm] mal ab, dann siehst du's ..
>
>
>
> danke lg
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 So 14.12.2008 | | Autor: | csak1162 |
ich weiß nicht ob das stimm aber
ich habe sinhx abgeleite
[mm] e^{x}-e^{-x}
[/mm]
und cos gleich nur mit + in der mitte
stimmt das???
ich habe jetzt versucht [mm] e^{x} [/mm] heruaszuheben, geht das?? und was bleibt dann (wenn es geht ) bei [mm] e^{-x} [/mm] übrig???
danke lg
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Hallo nochmal,
> ich weiß nicht ob das stimm aber
>
> ich habe sinhx abgeleite
>
> [mm]e^{x}-e^{-x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> und cos gleich nur mit + in der mitte
> stimmt das???
Nein, du hast unterwegs irgendwo die $\frac{1}{2}$ verschlabbert
Es ist $\sinh'(x)=\cosh(x)$ und $\cosh'(x)=\sinh(x)$
Damit ist die Ableitung des $\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)$ mit der Quotientenregel nun aber kein Problem mehr, oder?
>
> ich habe jetzt versucht [mm]e^{x}[/mm] heruaszuheben, geht das?? und
> was bleibt dann (wenn es geht ) bei [mm]e^{-x}[/mm] übrig???
>
>
> danke lg
>
LG
schachuzipus
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