arithm. und geom. Mittel < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Di 09.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
meine Aufgabe ist es die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel zu beweisen.
[mm] \wurzel[n]{a_1 * * * a_n} \le \bruch{a_1 + ... + a_n}{n}, [/mm] d.h. [mm] \wurzel[n]{\produkt_{k=1}^{n} a_k} \le \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} a_k
[/mm]
Da wir uns die letzten Male mit vollständiger Induktion beschäftigt haben, soll ich dies vermutlich auch über diesen Weg tun.
Da ich ziemlich planlos bin bei diesem Beweis, habe ich versucht mich ein wenig schlau zu machen und habe dabei herausgefunden, dass das wohl mit der vorwärts-rückwärts-Induktion gehen soll. Einmal soll dabei von der gültigkeit für n ausgehend die gültigkeit für 2n und einmal für n-1 bewiesen werden.
Ich habe nun wie folgt angefangen:
(IA) Für n=1 gelte die Behauptung, hab für n dann 1 eingesetzt und bekomme dann 1 [mm] \le [/mm] 1
(IV) Es gelte die Beh. für ein n [mm] \in \IN [/mm] (muss ich an dieser Stelle die Null ausschließen?)
Nun mein Induktionsschritt und da scheiter ich dann auch, weil cih nicht weiß, wie ich weiter vorgehen kann... also zunächst
n -> 2n
z.z. [mm] \wurzel[2n]{\produkt_{k=1}^{2n} a_k} \le \bruch{1}{2n} \summe_{k=1}^{2n} a_k
[/mm]
also
[mm] \wurzel[2n]{\produkt_{k=1}^{2n} a_k} =\wurzel[2]{ \wurzel[n]{\produkt_{k=1}^{2n} a_k} } [/mm] = [mm] \wurzel[2]{ \wurzel[n]{\produkt_{k=1}^{n} a_k} * a_{2n} } [/mm] = [mm] \wurzel[2]{ \wurzel[n]{\produkt_{k=1}^{n} a_k} * \wurzel[n]{a_{2n}}} [/mm] nach IV [mm] \le \wurzel[2]{\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} a_k * \wurzel[n]{a_{2n}}} [/mm] allerdings weiß ich nicht, wie ich nun weiter umformen kann...
Ebenso gehts mir bei n-1, allerdings weiß ich da schon nach [mm] \wurzel[n-1]{\produkt_{k=1}^{n-1} a_k} [/mm] nicht mehr weiter....
Danke schonmal im Voraus,
LG Pia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Di 09.11.2010 | | Autor: | wauwau |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
im ersten schritt zeigst du
wenn Ungleichnung für n gilt,dann für n-1
Setz mal $S=\frac{1}{n-1}\summe_{i=1}^{n-1}a_i}$
Dann gilt wegen Ind.Vorauss:
$S.\produkt_{i=1}^{n-1}a_i < (\frac{S+\summe_{i=1}^{n-1}a_i}{n})^n$ wie's weitergeht ist klar oder?
2. Schritt: Induktionsbasis zuerst nicht für n=1 sonder für n=2 beweisen!
$\produkt_{i=1}^{2n}a_i =(\produkt_{i=1}^{n}a_i)(\produkt_{i=n+1}^{2n}a_i) \le (\frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n})(\frac{1}{n}\summe_{i=n+1}^{n}) und auf diese Produkt wendest nun die Induktionsbasis für zwei Factoren/Summanden an!! OK?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Ich muss zugeben, ich bin grad ein wenig verwirrt...
Im Prinzip versteh ich, dass ich im ersten Schritt die Behauptung für n-1 zeigen muss. Allerdings ist mir nicht ganz klar, weshalb man S so setzt... irgendwie kann ich nicht ganz nachvollziehen, wo das S herkommt... ist das ein besonderer mathematischer Trick?
Desweiteren kann ich den Schritt der wegen der IV gilt nicht ganz nachvollziehen... Danach sollte das weitere Vorgehen kein Problem mehr sein, allerdings verstehe ich ja nicht, wie ich dort hinkomme...
Das was beim 2. Schritt steht ist mir auch soweit klar, jedoch ist mir nicht ganz klar, was die Induktionsbasis für 2 Faktoren/Summanden ist?!
Ich seh schon, ich bin überfordert...
Viele Grüße,
Pia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Do 11.11.2010 | | Autor: | wauwau |
zu schritt eins:
S so zu wählen ist ja naheliegende, denn du willst ja das für n-1 zeigen! Ist aber auch ein Trick 
[mm] $S.\produkt_{i=1}^{n-1}a_i$ [/mm] sind ja insgesamt n Faktoren, daher kannst du die Induktionsvor. anwenden!!!
zu schritt zwei
Induktionsbasis für n=2
[mm] $\wurzel{a_1a_2} \le \frac{a_1+a_2}{2}$ [/mm] kannst du umformen zu
[mm] $(a_1-a_2)^2 \ge [/mm] 0$ was ja gilt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Vielen, vielen Dank!
So ist mir das ganze ein wenig klarer :)
Allerdings kommt die Idee von der vorwärts-rückwärts-Induktion ja nicht von mir allein und ich frage mich deshalb, wieso man das ganze in 2 Schritten beweisen muss... Liegt das daran, dass man einmal ein Produkt und einmal eine Summe hat? Also deshalb auch einmal n-1 (für die Summe) und 2n (wegen dem Profukt)?! Vielleicht ist die Frage ein wenig blöd, aber vielleicht kann sie mir trotzdem jemand beantworten?
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Hallo,
also es gibt auch einen Weg deine Aussage nach einer Induktion zu zeigen.
Man kann induktiv (relativ leicht) zeigen, dass aus [mm]x_1*x_2*...+x_n=1[/mm] folgt [mm]x_1+x_2+...x_3 \geq n[/mm]
Und damit kannst alle Relationen zwischen dem arithmetischen, geometrischen und harmonischen Mittel zeigen!
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Danke für den Hinweis!
Leider beantwortet der jedoch nicht meine Frage nach dem WARUM zu der anderen Methode... Gibt es jemanden, der mir dazu Näheres erläutern kann?
LG Pia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Fr 12.11.2010 | | Autor: | wauwau |
die Methode der vVorwärts- RückwärtsInduktion
einmal zeigst du dass es ausgehen von n=2 es auch für n=4,8,16,.... gilt
und mit dem anderen Beweis zeigst du wenn es für 4 gilt, dann auch für 3
wenn es für 8 gilt dann auch für 7,6,5,...
und füllst damit die Lücken für die fehlenden n aus Schritt 1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Ah super, das macht Sinn! Vielen, vielen Dank! Jetzt habe ich glaube ich auch den tieferen Sinn verstanden :)
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