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| Aufgabe | welchen betrag und welches argument besitzt die komplexe zahl z?
z = [mm] 2(cos2\alpha [/mm] + [mm] i*sin2\alpha) [/mm] / [mm] (cos\alpha [/mm] - [mm] i*sin\alpha) [/mm] |
der zähler (ohne 2) ist das quadrat des komplex-konjungierten des nenners, weiterhin ist die anwendung der additionstheoreme möglich. mit hilfe dieser umformulierungen ergibt sich jedoch keine vereinfachung, obwohl der aufgabensteller dieselben doch vorgesehen haben muss.
lösung: arg(z) = [mm] 3\alpha [/mm] und |z|= 2
ich denke der betrag ist zwei, weil für
z = 2w / w mit |z| = |2w² / w| = |2||w²| / |w| = |2||w²| / |w| und |w| = 1 |z|= 2 ist.
aber hat jemand einen bescheidenen hinweis wie ich auf [mm] 3\alpha [/mm] komme?
vielen dank fürs lesen
michael
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Mi 10.02.2010 | | Autor: | abakus |
> welchen betrag und welches argument besitzt die komplexe
> zahl z?
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> z = [mm]2(cos2\alpha[/mm] + [mm]i*sin2\alpha)[/mm] / [mm](cos\alpha[/mm] -
> [mm]i*sin\alpha)[/mm]
> der zähler (ohne 2) ist das quadrat des
> komplex-konjungierten des nenners, weiterhin ist die
> anwendung der additionstheoreme möglich. mit hilfe dieser
> umformulierungen ergibt sich jedoch keine vereinfachung,
> obwohl der aufgabensteller dieselben doch vorgesehen haben
> muss.
Hallo,
erweitere die vorgebene Zahl mit [mm](cos\alpha[/mm] +[mm]i*sin\alpha)[/mm]
Der Nenner ist dann 1, und im Zähler werden zwei komplexe Zahlen multipliziert, deren Argumente [mm] 2\alpha [/mm] bzw. [mm] \alpha [/mm] sind.
Gruß Abakus
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> lösung: arg(z) = [mm]3\alpha[/mm] und |z|= 2
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> ich denke der betrag ist zwei, weil für
>
> z = 2w / w mit |z| = |2w² / w| = |2||w²| / |w| = |2||w²|
> / |w| und |w| = 1 |z|= 2 ist.
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> aber hat jemand einen bescheidenen hinweis wie ich auf
> [mm]3\alpha[/mm] komme?
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> vielen dank fürs lesen
> michael
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Mi 10.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Abakus' Antwort:
$z [mm] =2(cos2\alpha [/mm] + [mm] i\cdot{}sin2\alpha) [/mm] / [mm] (cos\alpha [/mm] - [mm] i\cdot{}sin\alpha) [/mm] = [mm] 2*\bruch{e^{2 \alpha i}}{e^{- \alpha i}}= 2*e^{3 \alpha i}$
[/mm]
FRED
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vielen dank für die tips. hab mich dann auch mittels eulerscher identität angenähert. das ist kurz und elegant. die wichtige überlegung dabei ist das das arg(z) = -arg(z konj)
also danke nochmal!
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