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Forum "mathematische Statistik" - apriori-Dichte
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apriori-Dichte: totale W.keit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 Fr 27.04.2012
Autor: mikexx

Aufgabe
Hallo, ich habe folgendes Verständnisproblem.

Und zwar lautet bei stetiger apriori-Dichte die aposteriori Dichte ja:

[mm] $\frac{f(X=x|Y=\theta)g(\theta)}{\int_{\Theta'}f(X=x|Y=\theta')g(\theta')\, d\theta'}$ [/mm]


Mir ist unklar, wie man auf den Nenner kommt.

Und zwar steht doch im Nenner die Dichte der Wahrscheinlichkeit $P(X)$ (Satz von Bayes) und diese ist doch die sog. totale Wahrscheinlichkeit, also:

[mm] $P(X)=\sum_{\theta'\in\Theta'}P(X=x|Y=\theta')P(\theta')$. [/mm]

Ich hatte ja nun angenommen, daß die apriori-Verteilung stetig ist, also kann ich doch sagen:

[mm] $P(\theta')=\int_{\theta'}g(y)\, [/mm] dy$ und habe also schonmal:

[mm] $P(X)=\sum_{\theta'\in\Theta'}P(X=x|Y=\theta')\int_{\theta'}g(y)\, [/mm] dy$.

Aber wie komme ich jetzt auf die Dichte im obigen Nenner?
Dazu muss ich doch am Ende haben (wenn X stetig verteilt ist):

[mm] $P(X)=\int_{x\in B}\int_{\Theta'}f(X=x|Y=\theta')g(\theta')\, d\theta'~dx$ [/mm] - oder? (Nur dann ergibt sich doch die Dichte, die oben im Nenner steht.)

bzw. wenn X diskret verteilt ist:

[mm] $P(X)=\sum_{x\in B}\int_{\Theta'}f(X=x|Y=\theta')g(\theta')\, d\theta'$ [/mm]

Aber wie komme ich darauf?



Also ich habe halt Probleme zu erkennen, wie der Nenner obiger aposteriori-Dichte mit der Dichte der totalen Wahrscheinlichkeit zusammenhängt, die ja nach der Bayesformel im Nenner steht.

        
Bezug
apriori-Dichte: Antwort (nicht fertig)
Status: (Antwort) noch nicht fertig Status 
Datum: 13:27 Fr 27.04.2012
Autor: dennis2

hi, ich bin nun kein experte auf dem gebiet, aber ich würde es so sagen:

angenommen X und Y sind beide stetig verteilt, dann hast du für die totale w.keit P(X) meines erachtens folgendes:

[mm] $P(X=x)=\sum_{\theta'\in\Theta'}P_{\theta'}(X=x)P(Y=\theta')=\sum_{\theta'\in\Theta'}\int_{x\in B}f_{\theta'}(x)\, dx\int_{\theta'}g(y)\, dy=\sum_{\theta'\in\Theta'}\int_{B}\int_{\theta'}f_{\theta'}(x)g(y)\, dy\, [/mm] dx$


weiß jemand, ob man nun das Summenzeichen vor das innere integral ziehen darf, also ob man weiter machen kann mit:

[mm] $=\int_B\sum_{\theta'\in\Theta'}\int_{\theta'}f_{\theta'}(x)g(y)\, dy\, [/mm] dx$?


falls ja, würde jetzt meines wissens folgen, daß man auch gleich über den ganzen parameterraum [mm] $\Theta'$ [/mm] integrieren kann, da die [mm] $\theta'$ [/mm] ja eine partition davon bilden, dann hätte man also

[mm] $P(X)=\int_{B}\int_{\Theta'}f_{\theta'}(x)g(y)\, dy\, [/mm] dx$ und damit hätte

$P(X)$ die gewünschte Form, sodaß man sehen kann, daß die Dichte [mm] $\int_{B}f_{\theta'}(x)g(y)\, [/mm] dy$ ist.



es wäre toll, wenn jemand klügeres als ich dazu was sagen würde oder mich korrigieren würde, denn ich möchte nichts falsches geantwortet haben

danke

Bezug
                
Bezug
apriori-Dichte: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:07 Fr 27.04.2012
Autor: mikexx

Sieht ja gut aus, aber kann das jemand bestätigen?

Nicht, dass ich mich jetzt zu früh freue und dann ist es falsch.

Bezug
                        
Bezug
apriori-Dichte: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 So 29.04.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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