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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:38 So 29.10.2006 | | Autor: | maybe. |
| Aufgabe | Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $M_{n}:=\{1,...,n\}$
[/mm]
Wie viele Elemente hat [mm] $\{f: M_{n} \to M_{3} : f \mbox{ surjektiv}\}$? [/mm] |
Also ich will doch alle Abbildungen bei denen die 1, die 2 und die 3 'getroffen' werden. Also [mm] f(M_{n})=\{1,2,3\}. [/mm] Erst mal hab ich mir überlegt wie viele Abbildungen es überhaupt gibt, und dachte mir dass ich jetzt mal meine n (von 1 bis n durchnummerierten) Kugeln, also die Elemente von [mm] M_{n} [/mm] vor mir liegen habe und die jetzt in 3 verschieden Urnen werfe. (Die Urnen sind die Elemente 1, 2 und 3 von [mm] M_{3}).
[/mm]
Naja für die erste Kugel habe ich 3 Möglichkeiten, für die zweite auch, usw.
also: [mm] |\{f:M_{n} --> M_{3}\}| [/mm] = [mm] 3^{n}
[/mm]
Na gut. Jetzt dachte ich mir, ich ziehe die Möglichkeiten bei denen in mindestens einer der Urnen keine Kugel liegt einfach wieder ab:
1.Fall:
IN MINDESTENS EINER DER BEIDEN URNEN IST KEINE KUGEL AM SCHLUSS
--> alle kugeln müssen in 2 urnen verteilt werden. jetzt habe ich doch (ähnlich wie oben) [mm] 2^{n} [/mm] möglichkeiten die kugeln zu verteilen. das schliesst die beiden spezialfälle "alle in eine" und "alle in die andere urne" schon ein. Dann kann ich mir aber noch aussuchen in welchen beiden urnen alle kugeln liegen sollen. es gibt 3 möglichkeiten 2 urnen auszusuchen (anschaulicher: 3 möglichkeiten eine wegzulassen)
also haben wir [mm] 3*2^{n} [/mm] möglichkeiten für eine nichtsurjektive abbildung
==> es gibt [mm] 3^{n}-3*2^{n} [/mm] surjektive abbildungen.
Jetzt hätte ich aber nicht geschrieben, wenn ich mir da so sicher wäre :)
Also erstmal habe ich das ganze mal für n=4 ausprobiert:
laut formel : [mm] 3^{4}-3*2^{n}= [/mm] 81-48 = 33
gezählt habe ich aber nur 30 :(
und dann komme ich auf keinen vernünftigen lösungsweg das ganze direkt zu berechnen (also ohne den umweg über "alle mögliche abbildungen")
das müsste sich doch per urnenmodell recht einfach berechnen lassen, ich steh aber irgendwie auf dem schlauch.
also wär super wenn mal jemand schauen kann wo mein fehler liegt und/oder mir sagt wie das ganze auch 'direkt' geht.
vielen dank schonmal
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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Hallo,
vielleicht hilft Dir das:
https://matheraum.de/read?t=190431
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 So 29.10.2006 | | Autor: | maybe. |
hi angela,
danke für die schnelle antwort, der link hat mir leider nicht weitergeholfen da der dort beschriebene lösungsweg meiner meinung leider falsch ist.
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Hallo,
ich habe in thread drüben einen neuen Lösungsvorschläg gepostet, und ich möchte darum bitten, die Diskussion dort
https://matheraum.de/read?t=190431
fortzusetzen.
Mit Hin- und Herverweisen wird die Sache sonst überflüssigerweise unübersichtlich.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 03.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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