anfangswertproblem/ DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich bin neu hier im Forum, möchte erstmal allen Hallo sagen...
Ich habe jedoch auch ein Problem derzeit mit einer Hausaufgabe.. Ich finde leider überhaupt keinen Ansatz, vielleicht kannmir irgendjemand hier ein bißchen Hilfestellung geben??
Die Frage lautet:
Man zeige: Jedes Anfangswert-Problem der Differentialgleichung
y' = x | sin xy |
besitzt genau eine (auf ganz [mm] \IR [/mm] definierte) Lösung. Die Lösungen [mm] y=\mu [/mm] (x) mit [mm] \mu [/mm] (0) [mm] \not= [/mm] 0 verschwinden nirgends.
Ich wäre wirklich froh, wenn mir irgendjemand einen Weg zeigen könnte, dies zu beweisen...
Liebe Grüße
Sarah
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sarah,
erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
also ich kann dir vielleicht zumindest ein paar tips geben, wie du mit der aufgabe weiterkommst.
Sehe ich das richtig , dass da in der funktion betragsstriche stehen?
Zunächst mal hattet ihr ja bestimmt den satz von picard-lindelöf in der VL. der liefert dir zu beliebigen anfangswerten zumindest die lokale existenz und eindeutigkeit einer lösung, da die betragsfunktion und damit die ganze dgl.-funktion lipschitzstetig ist (klar oder?).
Etwas kniffliger wird es für die globale existenz, aber da hattet ihr bestimmt auch irgendwelche schönen, mächtigen Sätze in der VL, die du verwenden kannst. eine sache, die dort vermutlich weiterhilft ist, dass die ableitung der lösung ziemlich gut, nämlich linear, abschätzbar ist:
$|y'(x)|<=|x|$.
das heißt, dass die ableitung der lösung und damit auch die lösung selbst, nicht 'explodieren' kann und somit , zumindest halb formal, keine polstellen haben kann. wie gesagt, für eine formal korrekte herleitung brauchst du wohl einen satz aus deiner VL.
hast du diesen teil erledigt, folgt der letzte teil ganz leicht. $y=0$ ist eine globale lösung der dgl.. angenommen, eine lösung [mm] $\mu$ [/mm] hat eine nullstelle $x$. konstruiere nun eine lokale lösung der dgl. um $x$. da die lösung eindeutig ist kann es nur die $0$-Lösung sein.
VG
Matthias
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Hallo Mathias,
vielen Dank für Deine Antwort.
Der Anfang (Picard/Lindelöf, Lipschitz) ist klar, aber der zweite "große" Satz.... hast Du da noch eine Idee auf welchen genau das hinausläuft??
Gruß,
Sarah
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Hallo Sarah,
ihr müsstet schon irgendeinen satz in der VL gehabt haben, der die fortsetzbarkeit von lösungen betrifft. schau noch mal nach. und für solche fortsetzungen sind a priori-abschätzungen, wie ich sie angegeben habe (hast du die verstanden?) sehr wichtig.
VG
Matthias
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Hallo,
also, wenn ich ehrlich bin... ganz klar ist mir diese Abschätzung nicht... Kannst Du darüber noch ein paar Worte verlieren?
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Hallo Sarah,
die abschätzung ist eigentlich ganz leicht zu bekommen. Du hast ja die differentialgleichung:
[mm] $y'(x)=x\cdot |\sin [/mm] (xy)|$ .
Aus dieser gleichung kannst du nun schnell eine abschätzung für die ableitung der lösung (falls sie dann existiert!) ablesen. Weil [mm] $|\sin(xy)|\le [/mm] 1$ ist, folgt direkt:
[mm] $|y'(x)|\le [/mm] |x|$.
daraus folgt, dass für endliche $x$, also [mm] $|x|\le [/mm] C$,$C$ konstant, auch die ableitung der lösung durch $C$ beschränkt ist. Es kann also keine Polstelle auftreten! Jetzt klarer?
VG
Matthias
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