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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - alpha-Fehler
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alpha-Fehler: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:30 Mi 10.06.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

bei mir im Buch geht es um [mm] \alpha- [/mm] und [mm] \beta-Fehler [/mm] bei Hypothesentests. Leider sind einige Sachen für mich nicht ganz nachvollziehbar. Ich zitiere mal:

" ... definiert man [mm] \alpha [/mm] als obere Schranke für eine Fehlentscheidung (= Wahrscheinlichkeit, dass der Prüfwert T bei Gültigkeit der [mm] H_0-Hypothese [/mm] in den Ablehnungsbereich K fällt). Die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung in Abhängigkeit vom wahren Wert [mm] \Theta [/mm] wird als Gütefunktion (engl. power function ) bezeichnet:

[mm] G(\Theta) [/mm] = [mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \in [/mm] K [mm] \parallel \Theta) [/mm]

Nun legt man [mm] \alpha [/mm] als kleinste obere Schranke (Supremum) für eine Fehlentscheidung fest, wenn der wahre Wert [mm] \Theta [/mm] im für [mm] H_0 [/mm] günstigen Bereich [mm] \Theta_0 [/mm] liegt: [mm] \alpha [/mm] = [mm] sup_{\Theta \in \Theta_0} G(\Theta)." [/mm]

Verstehe ich das richtig: [mm] G(\Theta) [/mm] ist allgemein die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung, also:

[mm] G(\Theta) [/mm] = [mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \in [/mm] K | [mm] \Theta \in \Theta_0) [/mm] + [mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \not\in [/mm] K | [mm] \Theta \not\in \Theta_0) [/mm] (1)

Und die Schreibweise

[mm] \alpha [/mm] = [mm] sup_{\Theta \in \Theta_0} G(\Theta) [/mm] (2)

würde dann letztendlich bedeuten

[mm] \alpha [/mm] = [mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \in [/mm] K | [mm] \Theta \in \Theta_0) [/mm] = [mm] G(\Theta) [/mm] - [mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \not\in [/mm] K | [mm] \Theta \not\in \Theta_0) [/mm] (3)

Korrekt? Wenn ja, dann beißt sich das mit meinem bisherigen Verständnis von [mm] \alpha, [/mm] denn an anderer Stelle im Buch heißt es:

[mm] \alpha [/mm] = [mm] P(\Theta \not\in [g_u(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n), g_o(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n)]) [/mm] (4)

wobei

[mm] [g_u(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n), g_o(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n)] [/mm]

das Konfidenzintervall ist. Nach (4) ist doch dann [mm] \alpha [/mm] ganz allgemein die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung, genau wie [mm] G(\Theta) [/mm] nach (1), also:

[mm] \alpha [/mm] = [mm] G(\Theta) [/mm] (5)

Nach (3) gilt doch aber

[mm] \alpha [/mm] = [mm] G(\Theta) [/mm] - [mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \not\in [/mm] K | [mm] \Theta \not\in \Theta_0) [/mm]

Was stimmt denn nun?

        
Bezug
alpha-Fehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:52 Mi 10.06.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> " ... definiert man [mm]\alpha[/mm] als obere Schranke für eine
> Fehlentscheidung (= Wahrscheinlichkeit, dass der Prüfwert
> T bei Gültigkeit der [mm]H_0-Hypothese[/mm] in den
> Ablehnungsbereich K fällt).

Oder anders ausgedrückt: [mm] $\alpha$ [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese abgelehnt wird, obwohl sie korrekt ist. (Fehler 1. Art).

> Die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung in Abhängigkeit vom wahren Wert
> [mm]\Theta[/mm] wird als Gütefunktion (engl. power function )
> bezeichnet:
>  
> [mm]G(\Theta)[/mm] = [mm]P(T(X_1,[/mm] ..., [mm]X_n) \in[/mm] K [mm]\parallel \Theta)[/mm]

Hier wird die Gütefunktion G doch definiert, warum nutzt du sie später nicht?

>  
> Nun legt man [mm]\alpha[/mm] als kleinste obere Schranke (Supremum)
> für eine Fehlentscheidung fest, wenn der wahre Wert [mm]\Theta[/mm]
> im für [mm]H_0[/mm] günstigen Bereich [mm]\Theta_0[/mm] liegt: [mm]\alpha[/mm] =
> [mm]sup_{\Theta \in \Theta_0} G(\Theta)."[/mm]

G einsetzen liefert also:
[mm] $\alpha [/mm] = [mm] sup_{\Theta \in \Theta_0} P(T(X_1, \ldots, X_n) \in [/mm] K [mm] \parallel \Theta)$ [/mm]

>  
> Verstehe ich das richtig: [mm]G(\Theta)[/mm] ist allgemein die
> Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung, also:
>  
> [mm]G(\Theta)[/mm] = [mm]P(T(X_1,[/mm] ..., [mm]X_n) \in[/mm] K | [mm]\Theta \in \Theta_0)[/mm]
> + [mm]P(T(X_1,[/mm] ..., [mm]X_n) \not\in[/mm] K | [mm]\Theta \not\in \Theta_0)[/mm]
> (1)

Wie kommst du jetzt auf den Schmu?
Was einfaches Einsetzen liefert, hab ich dir oben ja gesagt…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
alpha-Fehler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:38 Mi 10.06.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

> > [mm]G(\Theta)[/mm] = [mm]P(T(X_1,[/mm] ..., [mm]X_n) \in[/mm] K [mm]\parallel \Theta)[/mm]
>  
> Hier wird die Gütefunktion G doch definiert, warum nutzt
> du sie später nicht?

Mir ist die Schreibweise

[mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \in [/mm] K [mm] \parallel \Theta) [/mm]

nicht geläufig; wie soll ich das lesen? Ich verstehe

[mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \in [/mm] K))

als die Wahrscheinlichkeit, dass T in den Ablehnungsbereich K fällt, ganz egal ob "berechtigt" oder nicht. Was aber bedeutet der Zusatz [mm] \parallel \Theta? [/mm]

Gleiches gilt für [mm] sup_{\Theta \in \Theta_0} G(\Theta): [/mm] Wie "spricht" man das bzw. wie kann man das in Prosa fassen?

Gruß und Danke,

Martin

Bezug
                        
Bezug
alpha-Fehler: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:45 Mi 10.06.2020
Autor: sancho1980

keiner? Ich raff es wirklich nicht ...

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Bezug
alpha-Fehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:12 Do 11.06.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Mir ist die Schreibweise
>  
> [mm]P(T(X_1,[/mm] ..., [mm]X_n) \in[/mm] K [mm]\parallel \Theta)[/mm]
>  
> nicht geläufig; wie soll ich das lesen?

Der Parameter [mm] $\Theta$ [/mm] ist ja unbekannt.
Obiger Ausdruck vermerkt nun "nur", dass das der unbekannte Paramter nun gerade [mm] $\Theta$ [/mm] sein soll.
Man kann das lesen als "unter der Bedingung / Annahme, dass der Paramter gerade [mm] \Theta [/mm] ist". Aber: Das ist nicht als bedingte Wahrscheinlichkeit gemeint, sondern ist nur Notation!

> Ich verstehe
>  
> [mm]P(T(X_1,[/mm] ..., [mm]X_n) \in[/mm] K))
>  
> als die Wahrscheinlichkeit, dass T in den Ablehnungsbereich
> K fällt, ganz egal ob "berechtigt" oder nicht. Was aber
> bedeutet der Zusatz [mm]\parallel \Theta?[/mm]

Ja, letztlich bedeutet das oben dasselbe, aber du verlierst in dieser Notation halt die Information, dass das ganze ja  von [mm] \Theta [/mm] abhängt.
D.h. welcher Wert bei obiger Wahrscheinlichkeit herauskommt, hängt ja von [mm] \Theta [/mm] ab!


> Gleiches gilt für [mm]sup_{\Theta \in \Theta_0} G(\Theta):[/mm] Wie
> "spricht" man das bzw. wie kann man das in Prosa fassen?

Naja nochmal: [mm] $G(\Theta)$ [/mm] ist nach obigem nun ein Wert, der von [mm] $\Theta$ [/mm] abhängt.
Nun hat man bspw. schon eingegrenzt, dass [mm] $\Theta$ [/mm] nur aus einem bestimmten Bereich [mm] \Theta_0 [/mm] kommen kann und bildet darüber das Supremum.

Das macht auch Sinn: Zu einem bestimmten fixierten [mm] \Theta [/mm] ist [mm] $G(\Theta)$ [/mm] der "die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung".
Kann [mm] \Theta [/mm] nun nur auf einen bestimmten Wertebereich [mm] \Theta_0 [/mm] eingegrenzt werden, ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art nun gerade maximal so groß, wie obiges Supremum.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
alpha-Fehler: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:35 Do 11.06.2020
Autor: sancho1980

Ich glaub jetzt ist der Knoten geplatzt; ich fass das nochmal mit eigenen Worten zusammen:

In

[mm] G(\theta) [/mm] = [mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \in [/mm] K [mm] \parallel \theta) [/mm]

wird angenommen, dass der gesuchte Parameter gleich [mm] \theta [/mm] (nicht [mm] \Theta) [/mm] ist.
Dann ist es ausreichend wahrscheinlich (1 - [mm] \alpha), [/mm] dass ein beliebiges [mm] T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \in K^C. [/mm]

Wenn es sich um eine einfache Null-Hypothese der Form

[mm] \theta [/mm] = [mm] \theta_0 [/mm]

handelt, kann ich nun einfach schreiben: [mm] \alpha [/mm] = [mm] G(\theta_0). [/mm]

Handelt es sich aber um eine zusammengesetzte Nullhypothese (z.B. [mm] \theta \not= \theta_0, \theta [/mm] > [mm] \theta_0 [/mm] oder [mm] \theta [/mm] < [mm] \theta_0), [/mm] dann bezeichnet [mm] \Theta_0 [/mm] (nicht [mm] \theta_0) [/mm] denjenigen Wertebereich, von dem die Null-Hypothese behauptet, dass [mm] \theta [/mm] in ihm liegt (also {x [mm] \in \IR [/mm] | x [mm] \not= \theta_0 [/mm] }, {x [mm] \in \IR [/mm] | x > [mm] \theta_0 [/mm] } oder {x [mm] \in \IR [/mm] | x < [mm] \theta_0 [/mm] }).

Dann bedeutet

[mm] \alpha [/mm] = [mm] sup_{\theta \in \Theta_0} G(\theta) [/mm]

nichts Anderes als

[mm] \forall \theta \in \Theta_0 [/mm] : [mm] G(\theta) \le \alpha. [/mm]

Korrekturen erwünscht.

Bezug
                                        
Bezug
alpha-Fehler: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:35 Do 11.06.2020
Autor: luis52

Moin sancho, kleine Korrektur: Fuer die Nullhypothese [mm] $\text{H}_0:\theta=\theta_0$ [/mm] ist [mm] $\Theta_0=\{\theta_0\}$. [/mm] Sonst habe ich nichts einzuwenden.

Gono?

Bezug
                                                
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alpha-Fehler: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:03 Fr 12.06.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Sonst habe ich nichts einzuwenden.
>
> Gono?

ich auch nicht.

Gruß,
Gono


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