allgemeiner Beweis des ggT < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Mi 26.10.2005 | | Autor: | Nephilim |
Ich habe folgendes Problem:
1. Es soll bewiesen werden, dass jeder gemeinsame Teiler von a und b auch Teiles des ggT(a,b) ist.
2. Es soll gezeigt werden: Wenn eine ganze Zahl a eine ganze Zahl b teilt und b eine ganze zahl C teilt, dann teil a auch c.
3. Es ist zu beweisen:
Für 3 ganze zahlen (a1,a2,a3) ist ggT(a1,a2,a3) = ggT(a1, ggT(a2,a3))
Diese 3 dinge sind eigentlich relativ einfach zu verstehen und man sieht auch durch logisches denken das die aussagen stimmen, aber ich weis leider nicht wie ich die Beweise dazu allgemein formulieren soll.
Wie sollte ich vorgehen wenn ich solche Dinge allgemein beweisen will?
mfg
Nephilim
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Mi 26.10.2005 | | Autor: | Paige |
Hi!
Ich versuche jetzt mal eine Antwort.
Probier mal ob du mit der Definition des ggT weiter kommst:
Seien a, b [mm] \in\IN\ [/mm]. Das größte Element von [mm] T(a)\cap T(b)\ [/mm] heißt größter gemeinsamer Teiler von a und b.
Du wendest einfach die Definiton an:
ggT(a,b,c) = [mm] T(a)\cap T(b)\cap T(c)\ [/mm] = ( [mm] T(a) \cap T(b) [/mm] ) [mm] \cap T(c) [/mm] = ggT(a,b) [mm] \cap T(c) [/mm] = ggT(ggT(a,b),c)
Ich weiß nicht obs so richtig ist, aber so hab ich das zumindestens mal gelernt.
LG
Paige
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Mi 26.10.2005 | | Autor: | Nephilim |
also du nimmst einfach die Menge aller Teiler von a und Menge aller Teiler von b und bildest den durchschnitt? dann ist die größte zahl des durchschnitts der ggT.
das versteh ich schon, aber ich bin mir nicht socher ob das als allgemeiner beweis ausreicht
es wäre einfach zu kurz und zu verständlich für einen beweis ;)
als hinweis steht bei der aufgabe das ggT(a,b) als summe eines vielfachen von a und eines vielfachen von b gesehen werden kann
also ungefähr so
gg(a,b) = ( x * a ) + ( y * b )
vielleicht gibts ja noch ne andere möglichkeit das zu beweisen?
aber dein ansatz ist schon mal ziemlich gut, ich wär da wohl nicht drauf gekommen [mm] 0_o
[/mm]
schonmal danke dafür
ich muss das ergebnis dieser aufgabe als induktionsanfang für die nächste aufgabe verwenden
also ich muss eine induktion über n machen:
Für alle Zahlen n>=3 und für alle ganzen zahlen a1, a2, a3...., an ist
ggT(a1,a2,....an) = ggT(a1, ggT(a2, ggT(a3,ggT(....,an)....))
wenn ich das aber nun im obigen beispiel mithilfe der mengen aller teiler beweise bin ich mir nicht sicher wie nun der induktionsbweis aussehen soll
wenn ich den induktionsanfang bei n=3 machen dann wäre das
ggT(a1,a2,a3) = ggT(a1,ggT(a2,a3))
aber bei n+1 ?
wüsste nicht wie dazu der induktionsbeweis zu machen ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Mi 26.10.2005 | | Autor: | Paige |
Hi!
Erst mal zu:
> es wäre einfach zu kurz und zu verständlich für einen
> beweis ;)
Manche Beweise sind halt kurz und tatsächlich zu verstehen. Hab noch mal nachgeschaut und ich hab den Beweis so tatsächlich mal gehört.
> als hinweis steht bei der aufgabe das ggT(a,b) als summe
> eines vielfachen von a und eines vielfachen von b gesehen
> werden kann
>
> also ungefähr so
>
> gg(a,b) = ( x * a ) + ( y * b )
>
> vielleicht gibts ja noch ne andere möglichkeit das zu
> beweisen?
Die gibt es bestimmt, aber mir fällt leider keine ein.
> aber dein ansatz ist schon mal ziemlich gut, ich wär da
> wohl nicht drauf gekommen [mm]0_o[/mm]
>
> schonmal danke dafür
Kein Problem.
> ich muss das ergebnis dieser aufgabe als induktionsanfang
> für die nächste aufgabe verwenden
>
> also ich muss eine induktion über n machen:
> Für alle Zahlen n>=3 und für alle ganzen zahlen a1, a2,
> a3...., an ist
> ggT(a1,a2,....an) = ggT(a1, ggT(a2,
> ggT(a3,ggT(....,an)....))
>
> wenn ich das aber nun im obigen beispiel mithilfe der
> mengen aller teiler beweise bin ich mir nicht sicher wie
> nun der induktionsbweis aussehen soll
>
> wenn ich den induktionsanfang bei n=3 machen dann wäre das
> ggT(a1,a2,a3) = ggT(a1,ggT(a2,a3))
>
> aber bei n+1 ?
>
> wüsste nicht wie dazu der induktionsbeweis zu machen ist
Ich habs mal probiert, aber ich weiß auch nicht, ob das so geht.
Induktionsvorraussetzung
ggT(a1,a2,....an) = ggT(a1, ggT(a2, ggT(a3,ggT(....,an)....))
Es gilt auch nach Def.: ggT(a1, ..., an) = [mm] T(a1) \cap ... \cap T(an) [/mm]
Schluss auf n + 1
ggT (a1, ..., an, an+1) = [mm] [ T(a1) \cap ... \cap T(an)] \cap T(an+1) [/mm] =
(Das in der eckigen Klammer ist meine Induktionsvorraussetzung).
= ggT(a1, ggT(a2, ggT(a3,ggT(....,an)....)) [mm] \cap T(an+1)[/mm] =
= ggT(ggT(a1, ggT(a2, ggT(a3,ggT(....,an)....)),an+1)
Ich weiß allerdings nicht ob das stimmt. Das wäre jetzt so meine Idee gewesen, wie man das mit den Schnittmengen zeigen kann.
LG
Paige
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Mi 26.10.2005 | | Autor: | Nephilim |
da mir sonst auch kein weg einfällt wie man es beweisen soll werde ich wohl auch auf die art machen.
falsch ist es ja nicht und es ist bei der aufgabe ja nicht genau vorgeschrieben wie man den beweis machen soll
und falls noch jemand einen weg kennt kann er es ja posten ;)
danke für die hilfe!
mfg
Nephilim
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