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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 So 20.03.2011 | | Autor: | Kayle |
| Aufgabe | Bin noch in der Vorbereitung zur Vordipl.prüfungen und bräuchte noch mal ein paar Erklärungen zu einigen Begriffen.
Die Definitionen hab ich alle, aber ich wäre dankbar, wenn mir jemand das so erklären könnte, dass ich vielleicht auch wirklich verstehe was diese bedeuten. Es sind hier auch nicht immer unbedingt die vollständigen Definitionen, es geht mir eigentlich nur darum, dass ich überhaupt verstehe um was es bei den Begriffen genau geht, bzw. was sie mir sagen.
i) I heißt Ideal von R (R Ring), wenn I R-Untermodul von R ist.
ii) Erzeugendensystem: U(X) Durchschnitt aller Links-R-Untermoduln von [mm] V\subseteq [/mm] M, [mm] X\subseteq [/mm] V.
iii) Kardinalzahl einer Menge #X=n (Minimalerzeugendenzahl [mm] \mu_R(M)=min\{n\})
[/mm]
iv) rang [mm] L_0=n-rang [/mm] A, [mm] A\in K^{n x n} [/mm] und [mm] L_0 [/mm] ist Untervektorraum von [mm] K^n
[/mm]
v) identische Abbildung
vi) [mm] R^{(B)}, [/mm] R komm. Ring, V freier R-Modul und B Basis von V
vii) adjungiert: Endomorphismen [mm] v,w\in [/mm] V, V [mm] \IR-Vektorraum: [/mm] <f(v),w>=<v,g(w)>
Algebra:
a) Ordnung von G (G Gruppe): #G=Ord G
b) Index: [G:U] := #(G/U) (G Gruppe, U Untergruppe)
c) n-te symmetrische Gruppe: [mm] S_n:=(S{0,1,..,n}); n\in\IN: [/mm] Ord [mm] S_n=n!
[/mm]
Elemente: [mm] \pi\pmat{ 1 & 2 & ... & n \\ i_1 & i_2 & ... & i_n }, \pi\in S_n [/mm] |
Hallo,
so, jetzt zu meinen Fragen:
i) eigentlich weiß ich nicht so richtig, was ich eigentlich genau wissen möchte, denn wenn ich mir die Def. anschaue, steht da ja eigentlich Alles. Kann man das trotzdem irgendwie anders ausdrücken? Ich mein ich kann die Definition, aber ich wüsste nicht, ob ichs mit meinen Worten erklären könnte.
ii) bedeutet das: U ist der bzgl [mm] \subseteq [/mm] kleine Untermoduln von V der X enthält? Kann man das so sagen, wenn man gefragt wird?
iii) #X ist ja die Anzahl der Element, was bedeutet das aber bei einer Menge. Sind die Elemente hier die Teilmengen von X?
iv) Da hab ich mir ein Beispiel genommen, und das hat bei mir die Definition irgendwie außer Kraft gesetzt ^^
Der Rang r einer Matrix [mm] A\in K^{n x n} [/mm] ist ja [mm] r\le [/mm] n. Bei Unabhängigkeit ist n=r. Mit der obigen Def. hätte ich ja nun rang [mm] L_0 [/mm] = n - r = 0 - was meines erachtens aber ja nicht sein kann, weil rang [mm] L_0 [/mm] = n ist (wegen der Unabhängigkeit). Wo liegt mein Fehler?
v) bedeutet das, [mm] f:M\to [/mm] M mit [mm] m\mapsto [/mm] m? Also das jedes Element auf sich selbst abgeildet wird?
vi) wie sieht denn [mm] R^{(B)} [/mm] aus? Kann mir das nicht recht vorstellen.
v) Da brauche ich auch einfach eine Erklärung.
a) Hier ist wieder das gleiche Problem mit der Kardinalzahl, was heißt das bei einer Gruppe genau. Und wie sieht es mit der Ordnung eines Elementes a aus?
b) Versteh ich leider nicht wirklich. Definition kann ich, aber ob ichs erklären kann, weiß ich nicht.
c) Auch hier bräuchte ich eine vollständige Erläuterung.
Ich weiß es ist viel, aber wäre super wenn Ihr mir irgendwie weiterhelfen könntet!
Mfg
Kayle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Kayle |
Kann mir keiner weiterhelfen bei dem Thema?
Gruß
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Hallo Kayle
hier ein paar Antworten bzw. Links :
> iii) Kardinalzahl einer Menge #X=n
für eine endliche Menge ist ihre Kardinalzahl nichts anderes
als die Anzahl ihrer Elemente
bei unendlichen Mengen:
http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Kardinalzahl_%28Mathematik%29.html
> v) identische Abbildung
> bedeutet das, [mm]f:M\to[/mm] M mit [mm]m\mapsto[/mm] m? Also das jedes
> Element auf sich selbst abgeildet wird? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja.
> Algebra:
> a) Ordnung von G (G Gruppe): #G=Ord G
Die Ordnung einer (endlichen) Gruppe ist die Anzahl ihrer Elemente.
Die Ordnung eines Gruppenelementes a ist die kleinste natürliche
Zahl n mit [mm] a^n=e [/mm] (Ordnung der von a erzeugten Untergruppe)
> b) Index: [G:U] := #(G/U) (G Gruppe, U Untergruppe)
http://de.wikipedia.org/wiki/Index_%28Gruppentheorie%29
> c) n-te symmetrische Gruppe: [mm]S_n:=(S{0,1,..,n}); n\in\IN:[/mm]
> Ord [mm]S_n=n![/mm]
> Elemente: [mm]\pi\pmat{ 1 & 2 & ... & n \\ i_1 & i_2 & ... & i_n }, \pi\in S_n[/mm]
Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrische_Gruppe
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Di 22.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> i) I heißt Ideal von R (R Ring), wenn I R-Untermodul von R
> ist.
> i) eigentlich weiß ich nicht so richtig, was ich
> eigentlich genau wissen möchte, denn wenn ich mir die Def.
> anschaue, steht da ja eigentlich Alles. Kann man das
> trotzdem irgendwie anders ausdrücken? Ich mein ich kann
> die Definition, aber ich wüsste nicht, ob ichs mit meinen
> Worten erklären könnte.
Ein Ideal ist eine additive Untergruppe mit "Schluckeigenschaft".
Ansonsten: siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
> ii) Erzeugendensystem: U(X) Durchschnitt aller
> Links-R-Untermoduln von [mm]V\subseteq[/mm] M, [mm]X\subseteq[/mm] V.
Du meinst wohl $U(X) = [mm] \bigcap\{ V \subseteq M \mid V \text{ Links-R-Untermodul von } M, \; X \subseteq V \}$.
[/mm]
> ii) bedeutet das: U ist der bzgl [mm]\subseteq[/mm] kleine
> Untermoduln von V der X enthält? Kann man das so sagen,
> wenn man gefragt wird?
Kleinste Untermodul. Aber ja, so kannst du das nennen.
> iii) Kardinalzahl einer Menge #X=n (Minimalerzeugendenzahl
> [mm]\mu_R(M)=min\{n\})[/mm]
> iii) #X ist ja die Anzahl der Element, was bedeutet das
> aber bei einer Menge. Sind die Elemente hier die Teilmengen
> von X?
Zum Thema Kardinalzahlen schrieb Al ja schon was. Zum Thema Minimalerzeugendenzahl: bei einem Modul kann man sich halt fragen, mit wie wenigen Erzeugenden man ihn erzeugen kann. Deswegen definiert man fuer einen Modul $M$ und einem Ring $R$, ueber dem dies ein Modul ist, die Minimalerzeugendenzahl [mm] $\mu_R(M)$ [/mm] als kleinste Zahl $n$, so dass es eine Menge $X [mm] \subseteq [/mm] M$ gibt mit $U(X) = M$ (wobei U(X)$ das oben genannte ist).
> iv) rang [mm]L_0=n-rang[/mm] A, [mm]A\in K^{n x n}[/mm] und [mm]L_0[/mm] ist
> Untervektorraum von [mm]K^n[/mm]
> iv) Da hab ich mir ein Beispiel genommen, und das hat bei
> mir die Definition irgendwie außer Kraft gesetzt ^^
Hier soll [mm] $L_0$ [/mm] wohl der Loesungsraum des homogenen Gleichungssystems $A x = 0$ sein? Und $rank [mm] \l L_0 [/mm] = [mm] \dim L_0$? [/mm] Dann ist [mm] $L_0 [/mm] = [mm] \ker [/mm] A$, und wenn du $A$ als lineare Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : [mm] K^n \to K^n$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] A x$ auffasst, so gilt ja [mm] $\dim \ker \varphi [/mm] + [mm] \dim [/mm] Bild [mm] \; \varphi [/mm] = [mm] \dim K^n$. [/mm] Und [mm] $\ker \varphi [/mm] = [mm] \ker [/mm] A = [mm] L_0$, $\dim [/mm] Bild [mm] \; \varphi [/mm] = rank [mm] \; [/mm] A$ und [mm] $\dim K^n [/mm] = n$.
> Der Rang r einer Matrix [mm]A\in K^{n x n}[/mm] ist ja [mm]r\le[/mm] n. Bei
> Unabhängigkeit ist n=r. Mit der obigen Def. hätte ich ja
> nun rang [mm]L_0[/mm] = n - r = 0 - was meines erachtens aber ja
> nicht sein kann, weil rang [mm]L_0[/mm] = n ist (wegen der
> Unabhängigkeit). Wo liegt mein Fehler?
Wenn die Vektoren in $A$ unabhaengig sind, hat das LGS $A x = 0$ genau eine eindeutige Loesung -- der Loesungsraum ist also Nulldimensional, also $rang [mm] \; L_0 [/mm] = 0$.
> vi) [mm]R^{(B)},[/mm] R komm. Ring, V freier R-Modul und B Basis
> von V
> vi) wie sieht denn [mm]R^{(B)}[/mm] aus? Kann mir das nicht recht
> vorstellen.
Na, das sind alle Abbildungen $B [mm] \to [/mm] R$, die nur endlich viele Eintraege [mm] $\neq [/mm] 0$ haben.
Polynome mit Koeffizienten kannst du z.B. als [mm] $R^{(\IN)}$ [/mm] auffassen: eine Funktion [mm] $\IN \to [/mm] R, n [mm] \mapsto a_n$ [/mm] wird als Polynom [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ [/mm] aufgefasst, und es duerfen ja nur endlich viele [mm] $a_n \neq [/mm] 0$ sein, damit es wirklich ein Polynom ist (die Summe bricht dann ab, da irgendwann alle Summanden gleich 0 sind)
> vii) adjungiert: Endomorphismen [mm]v,w\in[/mm] V, V
Naja, $v$ und $w$ sind keine Endomorphismen, sondern $f$ und $g$!
> [mm]\IR-Vektorraum:[/mm] <f(v),w>=<v,g(w)>
> v) Da brauche ich auch einfach eine Erklärung.
Da das Skalarprodukt (was [mm] $\langle \cdot, \cdot \rangle$ [/mm] hier wohl sein soll?) nicht-degeneriert ist, gibt es zu jedem Endomorphismus $f$ einen Endomorphismus $g$ mit [mm] $\langle [/mm] f(v), w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] v, g(w) [mm] \rangle$.
[/mm]
Wenn du Matrizen fuer Endomorphismen benutzt, steht da ja [mm] $\langle [/mm] A v, w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] v, B w [mm] \rangle$, [/mm] und wenn du das Standardskalarprodukt hast, [mm] $v^T A^T [/mm] w = (A [mm] v)^T [/mm] w = [mm] v^T [/mm] B w$. Daraus kannst du sehen (indem du fuer $v$ und $w$ die Standardeinheitsvektoren einsetzt), dass [mm] $A^T [/mm] = B$ sein muss. Adjungieren von Endomorphismen entspricht beim Standardskalarprodukt und Matrizendarstellung bzgl. der Standardeinheitsbasis also dem Transponieren von Matrizen.
(Das gilt allgemeiner genau dann, wenn du die Endomorphismen bzgl. einer Orthonormalbasis bzgl. dem Skalarprodukt darstellst.)
Mit adjungierten Endomorphismen (oder auch Homomorphismen) kannst du also "genauso" arbeiten wie mit transponierten Matrizen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Di 22.03.2011 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
vielen Dank für eure Antworten und die guten Erklärungen!
Mfg
Kayle
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