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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Mo 09.07.2007 | | Autor: | jaylo |
| Aufgabe | Aufgabe 4: Gruppen
a) Gegeben ist die algebraische Struktur [mm] (M,\otimes) [/mm] := (IR × IR \ {(0, [mm] 0)},\otimes) [/mm] mit
(a, b) [mm] \otimes [/mm] (c, d) := (ac - bd, ad + bc)
Zeigen Sie, dass [mm] (M,\otimes) [/mm] eine abelsche (kommutative) Gruppe ist. Rechnen
Sie hierzu das Assoziativ- und Kommutativgesetz explizit nach. Weisen Sie
außerdem explizit die Eigenschaften des neutralen Elementes und der inversen
Elemente nach.
b) Zeigen Sie, dass [mm] (U,\otimes) [/mm] := ({(1, 0), (-1, 0), (0, 1), [mm] (0,-1)},\otimes) [/mm] eine Untergruppe
von [mm] (M,\otimes) [/mm] aus Aufgabenteil 4 a) ist. |
Hallo,
wie kann ich das beweisen???
Kenne zwar die Regeln nützt mir jetzt aber auch nichts das zu wissen, komme einfach nicht drauf.
Wäre super lieb von euch, wenn ihr mir weiter helfen könntet.
Gruß v. Jaylo
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Hallo Jaylo,
was genau ist denn unklar?
du musst bei den ganzen Rechnungen nur deine "neue" Verknüpfung benutzen.
Ich mache mal den Anfang für das Assoziativgesetz:
Wir nehmen uns [mm] $(a,b),(c;d),(e,f)\in\IR\times\IR$ [/mm] her mit
Dann ist [mm] $(a,b)\otimes \left((c,d)\otimes (e,f)\right)=(a,b)\otimes [/mm] (ce-df,cf+de)=(a(ce-df)-b(cf+de),a(cf+de)+b(ce-df))=.....$
Das ist nun alles auf das Rechnen in [mm] \IR [/mm] reduziert und damit gelten natürlich auch die Rechengesetze in [mm] \IR.
[/mm]
Forme das also weiter um, bis da steht [mm] $...=\left((a,b)\otimes (c,d)\right)\otimes [/mm] (e,f)$
Der Nachweis für die anderen Gesetze geht analog - einfach auf die Definition von [mm] \otimes [/mm] zurückgreifen und losrechnen
Ach ja, vergiss nicht, kurz die Abgeschlossenheit zu zeigen 
Gruß
schachuzipus
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