algebraisch abgeschlossen < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Di 01.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass ein Körper K mit endlich vielen Elementen niemals algebraisch abgeschlossen ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Algebraisch abgeschlossen bedeutet, dass jedes Polynom in K in Linearfaktoren zerfällt.
Ich muss also zeigen, dass es Polynome in K gibt, die irreduzibel sind und nicht von der Form T+a sind.
Leider habe ich keinen Ansatz ... Wie gehe ich das an ?
Danke, Susanne.
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> Beweisen Sie, dass ein Körper K mit endlich vielen
> Elementen niemals algebraisch abgeschlossen ist.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Algebraisch abgeschlossen bedeutet, dass jedes Polynom in K
> in Linearfaktoren zerfällt.
> Ich muss also zeigen, dass es Polynome in K gibt, die
> irreduzibel sind und nicht von der Form T+a sind.
>
> Leider habe ich keinen Ansatz ... Wie gehe ich das an ?
Hallo,
ich würd's so machen:
Sei [mm] K=\{0,1, k_3, ..., k_n\}
[/mm]
Nun zeigen, daß das Polynom p(x)= 1 + [mm] x(x-1)(x-k_3)*...*(x-k_n) [/mm] keine Nullstelle in K hat.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Di 01.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
Guten Morgen Angela,
vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
> ich würd's so machen:
>
> Sei [mm]K=\{0,1, k_3, ..., k_n\}[/mm]
>
> Nun zeigen, daß das Polynom p(x)= 1 +
> [mm]x(x-1)(x-k_3)*...*(x-k_n)[/mm] keine Nullstelle in K hat.
Für n=3 wäre [mm] p(x)=1+x^3-k_3x^2-x^2+k_3x [/mm], d.h. das ist die allg.Darstellung für ein Polynom 3.Grades.
Da 1 immer übrig bleibt gibt es keine Nullstelle.
Der Zusammenhang war mir noch nicht so klar: Keine Nullstelle, kein Linearfaktor.
Stimmt das so ?
VIELEN DANK !
Lg, Susanne.
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> Da 1 immer übrig bleibt gibt es keine Nullstelle.
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> Der Zusammenhang war mir noch nicht so klar: Keine
> Nullstelle, kein Linearfaktor.
> Stimmt das so ?
Hallo,
ja, Du hast es mit Polynomen über einem Körper zu tun, und wenn Du heir eine Nullstelle bei [mm] \alpha [/mm] hast, kannst Du den Linearfaktor [mm] (x-\alpha) [/mm] abspalten.
(In meinem LA Skript war das 11.4.11 (b), aber ich vermute, daß Ihr inzwischen ein anderes habt.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Di 01.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
Liebe Angela,
VIELEN VIELEN DANK !
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