algebr. Flächen, rat. Punkte < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 01:26 Do 21.03.2013 | | Autor: | reverend |
Guten Abend allerseits,
ich sitze gerade an algebraischen Flächen im [mm] \IR^3, [/mm] also solchen, bei denen [mm] \summe_{i+j+k\le{3}}a_{ijk}*x^i*y^j*z^k=0 [/mm] erfüllt ist, wobei alle [mm] a_{ijk}\in\IQ [/mm] sind - oder, wenn man will, auch einfach [mm] \in\IZ. [/mm] Das macht ja keinen Unterschied. Zu ihnen (bzw. ihren Schnitten) gehören alle ![[]](/images/popup.gif) Quadriken, aber z.B. auch elliptische Kurven.
Eine hierauf spezialisierte Software für die Veranschaulichung solcher Flächen ist das kostenlos downloadbare Programm surfer. Wer "mathematische Kunst" mag, kann hier hübsche Ergebnisse erzielen.
Was mich allerdings gerade daran beschäftigt, ist die Frage, ob eine solche Fläche rationale Punkte beinhaltet, bei denen also [mm] x,y,z\in\IQ [/mm] sind. Für bestimmte Flächen oder Kurven ist die Frage offenbar (z.T. sogar leicht) zu beantworten, aber ich finde nicht heraus, ob man hier eine hinreichende Verallgemeinerung finden kann. Bisher sehe ich nur, dass für bestimmte Flächen/Kurven das Problem wohl gelöst ist, aber ich kann sie weder katalogisieren noch kategorisieren, noch kann ich einen Lösungsalgorithmus angeben.
Nehmen wir ein einfaches Beispiel, die Fläche [mm] z^2=x^2+y^2. [/mm] Da klingelt der Pythagoras. Wir wissen also schon, dass es rationale Punkte gibt. Aber wie sieht es mit der Fläche [mm] az^2=x^2+y^2 [/mm] aus, [mm] a\in\IQ [/mm] vorausgesetzt? Oder vielleicht mit [mm] z^2=x^2+y^2+a, a\in\IQ [/mm] auch hier?
Das dürften die zwei einfachsten Beispiele sein, aber ich scheitere schon hier, wie auch am zweidimensionalen [mm] x^2=a+y^2, [/mm] auch hier mit rationalem a. Nicht einmal da finde ich die nötigen Werkzeuge, um rationale $x,y$ zu finden, obwohl ich weiß, dass sie existieren.
Für Tipps (auch Literaturhinweise!) zum Thema wäre ich Euch daher dankbar.
1) Kann man nachweisen, ob rationale Punkte existieren? Wenn ja, für welche Arten/Typen algebraischer Flächen?
2) Gibt es Algorithmen, mit denen man solche Punkte - sofern existent - auch identifizieren kann? Das habe ich schon bei elliptischen Kurven nicht so ganz nachvollziehen können. :-(
Es gibt also keine eigentliche Aufgabe, keine rechte Eigenleistung (außer vielen Stunden Suche) und auch sonst keine wirkliche Übereinstimmung mit den Forenregeln. Ich muss also einmal darauf vertrauen, dass mich hier vielleicht schon jemand kennt und diese Anfrage nicht als Trollgut wertet...
Herzliche Grüße
reverend
PS: Ach, und falls das Forum doch falsch sein sollte, bitte ich um Verlegung, Erklärung usw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:29 Do 21.03.2013 | | Autor: | reverend |
Ein kleiner Nachtrag:
Wenn die Frage einfach und vollständig zu beantworten wäre, dann könnte man den Modularitätssatz (früher: Taniyama-Shimura-Vermutung), die Serre-Vermutung (2006 bewiesen), die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung (eines der Millenium-Probleme) und sozusagen schulbuchmäßig den "großen Fermat" gleich mit beweisen.
Insofern ist Vorsicht geboten. Trotzdem ist die Frage ernst gemeint. Ich bekomme noch nicht mal einen Griff dran. Dass ich sie nicht mal eben beantworten kann, weiß ich natürlich. Auch wir alle zusammen werden wohl kaum eine vollständige Lösung finden. Ich weiß bloß nicht mehr, wo ich eigentlich suchen soll.
Forschungsberichte sind also willkommen. 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Do 21.03.2013 | | Autor: | sometree |
Hallo,
eine unvollständige Antwort meinerseits mit dem was mir so einfällt.
Wie du schon schrobst ist dies ein nicht-triviales Problem.
Zu elliptischen Kurven:
Ein schönes Buch von Cremona
http://homepages.warwick.ac.uk/~masgaj/book/fulltext/index.html
insbesondere Kapitel 3.
Der Klassiker zur Theorie dahinter ist Silverman's Arithmetic of elliptic curves. Die meisten der Methoden funktionieren auch für abelsche Varietäten (also überall dort, wo man eine Gruppenstruktur auf den rationalen punkten hat.)
Oder es gäbe noch das undergraduate Buch von tate und Silverman (Name gerade vergessen)
Auch interresant: Das Nagell-Lutz-Theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Nagell%E2%80%93Lutz_theorem
zum Finden rat. Punkte endlicher Ordnung einer elliptischen Kurve.
Was du noch angesprochen hast sind Kurven der Form
[mm] $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ [/mm] (afffin)
auch conics (Kegelschnitt?) bzw. Kurven vom genus 0 genannt bei denen kann man alle rationalen Punkte angeben. Sie haben entweder keinen [mm] ($x^2+y^2=3z^2$) [/mm] oder unendlich viele rationale Punkte.
Siehe z.B. hier:
people.reed.edu/~jerry/131/conics.pdf
Die Idee dahinter ist folgende. Gegeben sei ein rationaler Punkt P auf der Kurve. Zeichne irgendeine Gerade, die nicht durch P geht. Verbinde nun jeden rationalen Punkt der Geraden (die ja alle bekannt sind) mit P.
Diese Gerade hat nun einen weiteren Schnittpunkt mit der Kurve (wg. Grad 2) und man trifft so alle Punkt der Kurve.
Damit erhält man eine Bijektion auf die (proj.) gerade mit P als unendlich fernen Punkt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:05 Fr 22.03.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo sometree,
wunderbar. Da habe ich ja etwas zu lesen. 
> eine unvollständige Antwort meinerseits mit dem was mir so
> einfällt.
> Wie du schon schrobst ist dies ein nicht-triviales
> Problem.
>
>
> Zu elliptischen Kurven:
> Ein schönes Buch von Cremona
>
> http://homepages.warwick.ac.uk/~masgaj/book/fulltext/index.html
> insbesondere Kapitel 3.
> Der Klassiker zur Theorie dahinter ist Silverman's
> Arithmetic of elliptic curves. Die meisten der Methoden
> funktionieren auch für abelsche Varietäten (also überall
> dort, wo man eine Gruppenstruktur auf den rationalen
> punkten hat.)
Tja, selbst die kann ich oft nicht nachweisen.
> Oder es gäbe noch das undergraduate Buch von tate und
> Silverman (Name gerade vergessen)
Rational points on elliptic curves. Das hätte ich selbst finden müssen; habe ich aber nicht.
> Auch interresant: Das Nagell-Lutz-Theorem
> https://en.wikipedia.org/wiki/Nagell%E2%80%93Lutz_theorem
> zum Finden rat. Punkte endlicher Ordnung einer
> elliptischen Kurve.
Hm. Ich glaube, ich habe nicht gründlich genug gesucht. Das passiert mir nicht oft, aber hier ist das unbestreitbar.
> Was du noch angesprochen hast sind Kurven der Form
> [mm]ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0[/mm] (afffin)
> auch conics (Kegelschnitt?) bzw. Kurven vom genus 0
> genannt bei denen kann man alle rationalen Punkte angeben.
Ja, aber mich interessieren zZ gerade die Kurven/Flächen mit einem um 1 höheren Exponenten. Mehr nicht...
> Sie haben entweder keinen ([mm]x^2+y^2=3z^2[/mm]) oder unendlich
> viele rationale Punkte.
> Siehe z.B. hier:
> people.reed.edu/~jerry/131/conics.pdf
>
> Die Idee dahinter ist folgende. Gegeben sei ein rationaler
> Punkt P auf der Kurve. Zeichne irgendeine Gerade, die nicht
> durch P geht. Verbinde nun jeden rationalen Punkt der
> Geraden (die ja alle bekannt sind) mit P.
> Diese Gerade hat nun einen weiteren Schnittpunkt mit der
> Kurve (wg. Grad 2) und man trifft so alle Punkt der
> Kurve.
> Damit erhält man eine Bijektion auf die (proj.) gerade
> mit P als unendlich fernen Punkt.
Das muss ich noch gründlicher überdenken. Die Idee ist jedenfalls interessant und mir bisher noch nicht bekannt. Danke für die Erklärung und überhaupt die ganze Mühe, die Du Dir mit Deinen Hinweisen gemacht hast!
Herzliche Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Do 21.03.2013 | | Autor: | felixf |
Moin rev,
> ich sitze gerade an algebraischen Flächen im [mm]\IR^3,[/mm] also
> solchen, bei denen
> [mm]\summe_{i+j+k\le{3}}a_{ijk}*x^i*y^j*z^k=0[/mm] erfüllt ist,
> wobei alle [mm]a_{ijk}\in\IQ[/mm] sind - oder, wenn man will, auch
> einfach [mm]\in\IZ.[/mm] Das macht ja keinen Unterschied. Zu ihnen
> (bzw. ihren Schnitten) gehören alle
> Quadriken, aber z.B.
> auch elliptische Kurven.
>
> Was mich allerdings gerade daran beschäftigt, ist die
> Frage, ob eine solche Fläche rationale Punkte beinhaltet,
> bei denen also [mm]x,y,z\in\IQ[/mm] sind. Für bestimmte Flächen
> oder Kurven ist die Frage offenbar (z.T. sogar leicht) zu
> beantworten, aber ich finde nicht heraus, ob man hier eine
> hinreichende Verallgemeinerung finden kann. Bisher sehe ich
> nur, dass für bestimmte Flächen/Kurven das Problem wohl
> gelöst ist, aber ich kann sie weder katalogisieren noch
> kategorisieren, noch kann ich einen Lösungsalgorithmus
> angeben.
Nun, wie du schon selber angemerkt hast, ist das ein schwieriges Problem :) Und zwar sowohl das Entscheiden, ob es rationale Punkte gibt, wie auch das Auffinden solcher. Es gibt da viel aktive Forschung zu, und immer noch vieles zu tun.
Ich vermute mal, hier hast du schon geschaut?
> Nehmen wir ein einfaches Beispiel, die Fläche [mm]z^2=x^2+y^2.[/mm]
> Da klingelt der Pythagoras. Wir wissen also schon, dass es
> rationale Punkte gibt. Aber wie sieht es mit der Fläche
> [mm]az^2=x^2+y^2[/mm] aus, [mm]a\in\IQ[/mm] vorausgesetzt?
Schau mal hier.
> Oder vielleicht
> mit [mm]z^2=x^2+y^2+a, a\in\IQ[/mm] auch hier?
Das ist aequivalent zu [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - [mm] z^2 [/mm] + a [mm] w^2 [/mm] = 0$ mit ganzen Zahlen $x, y, z, w$. Auch hier kannst du Hasse-Minkowski verwenden.
> Das dürften die zwei einfachsten Beispiele sein, aber ich
> scheitere schon hier, wie auch am zweidimensionalen
> [mm]x^2=a+y^2,[/mm] auch hier mit rationalem a. Nicht einmal da
> finde ich die nötigen Werkzeuge, um rationale [mm]x,y[/mm] zu
> finden, obwohl ich weiß, dass sie existieren.
Ok, finden ist meist nicht ganz so einfach wie Existenz beweisen
Ich wuerd es zuerst auf eine ganzzahlige Gleichung zurueckfuehren, und dann Enumeration machen. Die Menge der Tupel ganzer Zahlen ist recht einfach aufzaehlbar, womit du irgendwann eine Loesung finden wirst.
> 1) Kann man nachweisen, ob rationale Punkte existieren?
> Wenn ja, für welche Arten/Typen algebraischer Flächen?
Allgemein klappt das glaub ich nur bei quadratischen Flaechen. (Im wesentlichen Hasse-Minkowski, etc.)
> 2) Gibt es Algorithmen, mit denen man solche Punkte -
> sofern existent - auch identifizieren kann? Das habe ich
> schon bei elliptischen Kurven nicht so ganz nachvollziehen
> können. :-(
Hmm, ich denke schon, wobei die nicht immer funktionieren. Wenn ich mich richtig erinnere, arbeitet z.B. Michael Stoll auf diesem Gebiet.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:11 Fr 22.03.2013 | | Autor: | reverend |
Moin Felix!
> > ich sitze gerade an algebraischen Flächen im [mm]\IR^3,[/mm] also
> > solchen, bei denen
> > [mm]\summe_{i+j+k\le{3}}a_{ijk}*x^i*y^j*z^k=0[/mm] erfüllt ist,
> > wobei alle [mm]a_{ijk}\in\IQ[/mm] sind - oder, wenn man will, auch
> > einfach [mm]\in\IZ.[/mm] Das macht ja keinen Unterschied. Zu ihnen
> > (bzw. ihren Schnitten) gehören alle
> > Quadriken, aber z.B.
> > auch elliptische Kurven.
>
> >
> > Was mich allerdings gerade daran beschäftigt, ist die
> > Frage, ob eine solche Fläche rationale Punkte beinhaltet,
> > bei denen also [mm]x,y,z\in\IQ[/mm] sind. Für bestimmte Flächen
> > oder Kurven ist die Frage offenbar (z.T. sogar leicht) zu
> > beantworten, aber ich finde nicht heraus, ob man hier eine
> > hinreichende Verallgemeinerung finden kann. Bisher sehe ich
> > nur, dass für bestimmte Flächen/Kurven das Problem wohl
> > gelöst ist, aber ich kann sie weder katalogisieren noch
> > kategorisieren, noch kann ich einen Lösungsalgorithmus
> > angeben.
>
> Nun, wie du schon selber angemerkt hast, ist das ein
> schwieriges Problem :) Und zwar sowohl das Entscheiden, ob
> es rationale Punkte gibt, wie auch das Auffinden solcher.
> Es gibt da viel aktive Forschung zu, und immer noch vieles
> zu tun.
>
> Ich vermute mal,
> hier hast du
> schon geschaut?
Ich freue mich über die engagierte Unterstellung. Leider bin ich ihr aber zuvor nicht gerecht geworden... So richtig hilfreich ist der knappe Artikel ja auch nicht, aber er hätte mich wohl auf neue Spuren geführt.
> > Nehmen wir ein einfaches Beispiel, die Fläche [mm]z^2=x^2+y^2.[/mm]
> > Da klingelt der Pythagoras. Wir wissen also schon, dass es
> > rationale Punkte gibt. Aber wie sieht es mit der Fläche
> > [mm]az^2=x^2+y^2[/mm] aus, [mm]a\in\IQ[/mm] vorausgesetzt?
>
> Schau mal
> hier.
Jahaa.
> > Oder vielleicht
> > mit [mm]z^2=x^2+y^2+a, a\in\IQ[/mm] auch hier?
>
> Das ist aequivalent zu [mm]x^2 + y^2 - z^2 + a w^2 = 0[/mm] mit
> ganzen Zahlen [mm]x, y, z, w[/mm]. Auch hier kannst du
> Hasse-Minkowski
> verwenden.
Hm. Wohl wahr. Nur: bringt mich das wirklich weiter, außer dass ich die Schwierigkeit des Problems erkenne?
> > Das dürften die zwei einfachsten Beispiele sein, aber ich
> > scheitere schon hier, wie auch am zweidimensionalen
> > [mm]x^2=a+y^2,[/mm] auch hier mit rationalem a. Nicht einmal da
> > finde ich die nötigen Werkzeuge, um rationale [mm]x,y[/mm] zu
> > finden, obwohl ich weiß, dass sie existieren.
>
> Ok, finden ist meist nicht ganz so einfach wie Existenz
> beweisen
Da sagst Du was. Seufz.
> Ich wuerd es zuerst auf eine ganzzahlige Gleichung
> zurueckfuehren, und dann Enumeration machen. Die Menge der
> Tupel ganzer Zahlen ist recht einfach aufzaehlbar, womit du
> irgendwann eine Loesung finden wirst.
Klar, aber das ist ja nur der erste Zugang. Schön, wenn so eine Fragestellung lösbar ist. Letzlich will man doch aber einen schnell konvergierenden Lösungsansatz. Enumeration genügt da nicht.
> > 1) Kann man nachweisen, ob rationale Punkte existieren?
> > Wenn ja, für welche Arten/Typen algebraischer Flächen?
>
> Allgemein klappt das glaub ich nur bei quadratischen
> Flaechen. (Im wesentlichen Hasse-Minkowski, etc.)
Das würde für manche Dinge ja reichen. Interessanter wäre aber eine Verallgemeinerung.
> > 2) Gibt es Algorithmen, mit denen man solche Punkte -
> > sofern existent - auch identifizieren kann? Das habe ich
> > schon bei elliptischen Kurven nicht so ganz nachvollziehen
> > können. :-(
>
> Hmm, ich denke schon, wobei die nicht immer funktionieren.
> Wenn ich mich richtig erinnere, arbeitet z.B.
> Michael Stoll auf
> diesem Gebiet.
Guter Tipp, danke!
Ich denke, wir sehen uns...
Herzliche Grüße
reverend
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