www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Zahlentheorie" - a^k+1 Vielfaches von a+1
a^k+1 Vielfaches von a+1 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

a^k+1 Vielfaches von a+1: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:02 So 20.05.2012
Autor: Omikron123

Aufgabe
Ich bin gerade dabei zu beweisen, dass falls [mm] a^k+1 [/mm] prim ist, dann muss a gerade und k eine 2er Potenz sein.

Den 1.Teil habe ich bereits zeigen können, beim 2.bräuchte ich noch das Zwischenresultat, dass [mm] a^k+1 [/mm] ein Vielfaches von a+1 ist.

Induktionsschritt klappt bei mir nicht, vielleicht hat jemand eine Idee.

Ich denke, dass es nur mit Induktion geht, da sich a+1 nicht herausheben lässt.



        
Bezug
a^k+1 Vielfaches von a+1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 So 20.05.2012
Autor: felixf

Moin!

> Ich bin gerade dabei zu beweisen, dass falls [mm]a^k+1[/mm] prim
> ist, dann muss a gerade und k eine 2er Potenz sein.
>
>  Den 1.Teil habe ich bereits zeigen können, beim
> 2.bräuchte ich noch das Zwischenresultat, dass [mm]a^k+1[/mm] ein
> Vielfaches von a+1 ist.
>  
> Induktionsschritt klappt bei mir nicht, vielleicht hat
> jemand eine Idee.
>  
> Ich denke, dass es nur mit Induktion geht, da sich a+1
> nicht herausheben lässt.

Es gibt keine Idee, da es im Allgemeinen nicht stimmt. Das [mm] $a^k [/mm] + 1$ durch $a + 1$ teilbar ist, bedeutet ja, dass [mm] $a^k \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{a + 1}$ [/mm] ist. Wegen $a [mm] \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{a + 1}$ [/mm] steht da also [mm] $(-1)^k \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{a + 1}$. [/mm] Dies ist genau dann der Fall, wenn $a + 1 = 1$ ist, oder wenn $k$ ungerade ist.

Wenn also $a > 0$ ist, dann geht es nur, falls $k$ ungerade ist.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
a^k+1 Vielfaches von a+1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 So 20.05.2012
Autor: Omikron123

Danke für deine Antwort, vielleicht könntest du mir noch bei der Vervollständigung des Satzes helfen, dass wenn [mm] a^k+1 [/mm] prim mit [mm] a,k\in\IN [/mm] ohne [mm] \{0\} [/mm] dann muss a gerade und k eine 2er Potenz sein.

Das a gerade sein muss, habe ich bereits bewiesen.

Nun zur 2.Aussage:

Ang.: k=x*y mit [mm] x\in\IP [/mm] ohne 2 und [mm] y\in\IN [/mm] ohne 0

=> [mm] a^k+1=a^{xy}+1=(a^{x})^{y}+1 [/mm] =>(Nach vorigem Beweis)

[mm] a^x+1\| a^{xy}+1 [/mm] genau dann wenn y ungerade.

Wie erhalte nun daraus die Behauptung?

Bezug
                        
Bezug
a^k+1 Vielfaches von a+1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 So 20.05.2012
Autor: felixf

Moin!

> Danke für deine Antwort, vielleicht könntest du mir noch
> bei der Vervollständigung des Satzes helfen, dass wenn
> [mm]a^k+1[/mm] prim mit [mm]a,k\in\IN[/mm] ohne [mm]\{0\}[/mm] dann muss a gerade und
> k eine 2er Potenz sein.
>  
> Das a gerade sein muss, habe ich bereits bewiesen.
>  
> Nun zur 2.Aussage:
>  
> Ang.: k=x*y mit [mm]x\in\IP[/mm] ohne 2 und [mm]y\in\IN[/mm] ohne 0
>  
> => [mm]a^k+1=a^{xy}+1=(a^{x})^{y}+1[/mm] =>(Nach vorigem Beweis)
>  
> [mm]a^x+1\| a^{xy}+1[/mm] genau dann wenn y ungerade.

Mach es doch umgekehrt. Aus dem obigen folgt [mm] $(a^y [/mm] + 1) [mm] \mid (a^{x y} [/mm] + 1)$, da $x > 1$ ungerade ist. Damit kann [mm] $a^{x y} [/mm] + 1$ nicht prim sein.

LG Felix


Bezug
        
Bezug
a^k+1 Vielfaches von a+1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 So 20.05.2012
Autor: abakus


> Ich bin gerade dabei zu beweisen, dass falls [mm]a^k+1[/mm] prim
> ist, dann muss a gerade und k eine 2er Potenz sein.
>  Den 1.Teil habe ich bereits zeigen können, beim
> 2.bräuchte ich noch das Zwischenresultat, dass [mm]a^k+1[/mm] ein
> Vielfaches von a+1 ist.
>  
> Induktionsschritt klappt bei mir nicht, vielleicht hat
> jemand eine Idee.
>  
> Ich denke, dass es nur mit Induktion geht, da sich a+1
> nicht herausheben lässt.

Hallo,
probiere mal die Partialdivision [mm] ($a^k$+1)/(a+1). [/mm]
Sie funktioniert ohne Rest für ungerade k und liefert den Wert [mm] $a^{k-1}-a^{k-2}+a^{k-3}-a^{k-4}+....$ [/mm]
Gruß Abakus

>  
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]