affiner Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Beweisen Sie, dass die Menge der reellen Polynomfunktionen
[mm]V=\left\{f:\IR\rightarrow\IR\left|f(x)=\sum_{j=1}^{n}a_jx^j\}[/mm] mit [mm]n\in\IN,a_0,...,a_n\in\IR[/mm]
ein Untervektorraum des Vektorraums Abb[mm](\IR,\IR)[/mm] aller Abbildungen [mm]f:\IR\rightarrow\IR[/mm] ist.
b) Beweisen Sie, dass die Menge [mm]A=\left\{f\in V\left|f(3)=2\}[/mm] kein Untervektorraum von V, aber ein affiner Unterraum von V ist. Was ist der zugehörige Untervektorraum?
c) Wir betrachten den Untervektorraum [mm]V_3=\left\{f\in V\left|f \,hat\, Grad\le3\}[/mm] von V und
den Untervektorraum [mm]U_3=\left\{f\in V_3\left|f(0)=0,f'(1)=0\}[/mm] von [mm]V_3[/mm]. Beweisen Sie, dass die affinen Unterräume zu [mm]U_3[/mm] durch
2x + 1 bzw. durch x2 + 1 übereinstimmen.
Bestimmen Sie eine Basis des Quotientenraums [mm]V_3=U_3[/mm]. |
Hallo zusammen,
ich hänge momentan bei Aufgabenteil b). Ich habe die Untervektorraumeigenschaft widerlegt, indem ich [mm]f(x)=\bruch{2}{3}x[/mm] betrachtet habe. Da [mm](f+f)(x)=\bruch{4}{3}(x)[/mm] und somit [mm]\not\in A[/mm] ist, kann A kein Untervektorraum sein - wobei ich mir nicht sicher bin, ob ich die Funktionen überhaupt so addieren darf...
Zum affinen Unterraum: ich habe hier immer das Bild einer Geraden durch den Ursprung (die ja Untervektorraum ist), und das der selben Geraden um x verschoben im Kopf. Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, wäre A ja meine verschobene Gerade, d.h. der Untervektorraum müsste schon mal ein Polynom vom Grad 1 sein - ich hatte an die Identität gedacht, aber so richtig vorstellen kann ich es mir leider nicht.
Vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen! Vielen Dank!
Gruß Hanna
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Mo 22.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> a) Beweisen Sie, dass die Menge der reellen
> Polynomfunktionen
>
> [mm]V=\left\{f:\IR\rightarrow\IR\left|f(x)=\sum_{j=1}^{n}a_jx^j\}[/mm]
> mit [mm]n\in\IN,a_0,...,a_n\in\IR[/mm]
> ein Untervektorraum des Vektorraums Abb[mm](\IR,\IR)[/mm] aller
> Abbildungen [mm]f:\IR\rightarrow\IR[/mm] ist.
>
> b) Beweisen Sie, dass die Menge [mm]A=\left\{f\in V\left|f(3)=2\}[/mm]
> kein Untervektorraum von V, aber ein affiner Unterraum von
> V ist. Was ist der zugehörige Untervektorraum?
>
> c) Wir betrachten den Untervektorraum [mm]V_3=\left\{f\in V\left|f \,hat\, Grad\le3\}[/mm]
> von V und
> den Untervektorraum [mm]U_3=\left\{f\in V_3\left|f(0)=0,f'(1)=0\}[/mm]
> von [mm]V_3[/mm]. Beweisen Sie, dass die affinen Unterräume zu [mm]U_3[/mm]
> durch
> 2x + 1 bzw. durch x2 + 1 übereinstimmen.
> Bestimmen Sie eine Basis des Quotientenraums [mm]V_3=U_3[/mm].
> Hallo zusammen,
>
> ich hänge momentan bei Aufgabenteil b). Ich habe die
> Untervektorraumeigenschaft widerlegt, indem ich
> [mm]f(x)=\bruch{2}{3}x[/mm] betrachtet habe. Da
> [mm](f+f)(x)=\bruch{4}{3}(x)[/mm] und somit [mm]\not\in A[/mm] ist, kann A
> kein Untervektorraum sein - wobei ich mir nicht sicher bin,
> ob ich die Funktionen überhaupt so addieren darf...
Mach es so: ist [mm]f(x)=\bruch{2}{3}x[/mm] , so ist f [mm] \in [/mm] A, aber $f+f [mm] \notin [/mm] A$, denn(f+f)(3) [mm] \ne [/mm] 2
>
> Zum affinen Unterraum: ich habe hier immer das Bild einer
> Geraden durch den Ursprung (die ja Untervektorraum ist),
> und das der selben Geraden um x verschoben im Kopf. Wenn
> ich die Aufgabe richtig verstehe, wäre A ja meine
> verschobene Gerade, d.h. der Untervektorraum müsste schon
> mal ein Polynom vom Grad 1 sein - ich hatte an die
> Identität gedacht, aber so richtig vorstellen kann ich es
> mir leider nicht.
>
> Vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen! Vielen
> Dank!
Du mußt zeigen: es gibt einen Untervektorraum U von V und ein [mm] f_0 \in [/mm] V mit:
[mm] $A=f_0+U$
[/mm]
FRED
>
> Gruß Hanna
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> Mach es so: ist [mm]f(x)=\bruch{2}{3}x[/mm] , so ist f [mm]\in[/mm] A, aber
> [mm]f+f \notin A[/mm], denn(f+f)(3) [mm]\ne[/mm] 2
>
Danke, das sieht deutlich schöner aus!
> > Zum affinen Unterraum: ich habe hier immer das Bild einer
> > Geraden durch den Ursprung (die ja Untervektorraum ist),
> > und das der selben Geraden um x verschoben im Kopf. Wenn
> > ich die Aufgabe richtig verstehe, wäre A ja meine
> > verschobene Gerade, d.h. der Untervektorraum müsste schon
> > mal ein Polynom vom Grad 1 sein - ich hatte an die
> > Identität gedacht, aber so richtig vorstellen kann ich es
> > mir leider nicht.
> >
> > Vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen! Vielen
> > Dank!
>
> Du mußt zeigen: es gibt einen Untervektorraum U von V und
> ein [mm]f_0 \in[/mm] V mit:
>
> [mm]A=f_0+U[/mm]
Ich glaube ich verstehe noch nicht was A genau ist - gibt es denn überhaupt noch andere Funktionen, ausser [mm]f_1(x)=\bruch{2}{3}x[/mm], die die Bedingung erfüllen - abgesehen von angehängten Summanden mit Koeffizient = 0?
Wenn nicht, dann ist doch [mm]A=f_0+U=f_1+U[/mm] mit [mm]U=\{f:\IR\rightarrow\IR\left|f(x)=x\}[/mm], oder?
> > Gruß Hanna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Mo 22.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Mach es so: ist [mm]f(x)=\bruch{2}{3}x[/mm] , so ist f [mm]\in[/mm] A, aber
> > [mm]f+f \notin A[/mm], denn(f+f)(3) [mm]\ne[/mm] 2
> >
> Danke, das sieht deutlich schöner aus!
> > > Zum affinen Unterraum: ich habe hier immer das Bild einer
> > > Geraden durch den Ursprung (die ja Untervektorraum ist),
> > > und das der selben Geraden um x verschoben im Kopf. Wenn
> > > ich die Aufgabe richtig verstehe, wäre A ja meine
> > > verschobene Gerade, d.h. der Untervektorraum müsste schon
> > > mal ein Polynom vom Grad 1 sein - ich hatte an die
> > > Identität gedacht, aber so richtig vorstellen kann ich es
> > > mir leider nicht.
> > >
> > > Vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen! Vielen
> > > Dank!
> >
> > Du mußt zeigen: es gibt einen Untervektorraum U von V und
> > ein [mm]f_0 \in[/mm] V mit:
> >
> > [mm]A=f_0+U[/mm]
>
> Ich glaube ich verstehe noch nicht was A genau ist - gibt
> es denn überhaupt noch andere Funktionen, ausser
> [mm]f_1(x)=\bruch{2}{3}x[/mm], die die Bedingung erfüllen -
> abgesehen von angehängten Summanden mit Koeffizient = 0?
Natürlich: f(x)= [mm] \bruch{2}{9}x^2
[/mm]
> Wenn nicht, dann ist doch [mm]A=f_0+U=f_1+U[/mm] mit
> [mm]U=\{f:\IR\rightarrow\IR\left|f(x)=x\}[/mm], oder?
Blödsinn !!
Sei [mm] f_0 [/mm] die Funktion, die auf [mm] \IR [/mm] konstant = 2 ist. Sei $U:= [mm] \{f \in V: f(3)=0\}
[/mm]
Zeige: U ist ein Untervektorraum von V und [mm] A=f_0+U
[/mm]
FRED
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>
> > > Gruß Hanna
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> > > Du mußt zeigen: es gibt einen Untervektorraum U von V und
> > > ein [mm]f_0 \in[/mm] V mit:
> > >
> > > [mm]A=f_0+U[/mm]
> >
> > Ich glaube ich verstehe noch nicht was A genau ist - gibt
> > es denn überhaupt noch andere Funktionen, ausser
> > [mm]f_1(x)=\bruch{2}{3}x[/mm], die die Bedingung erfüllen -
> > abgesehen von angehängten Summanden mit Koeffizient = 0?
>
> Natürlich: f(x)= [mm]\bruch{2}{9}x^2[/mm]
Das war dann wohl das berühmte Brett vorm Kopf!
>
> > Wenn nicht, dann ist doch [mm]A=f_0+U=f_1+U[/mm] mit
> > [mm]U=\{f:\IR\rightarrow\IR\left|f(x)=x\}[/mm], oder?
>
> Blödsinn !!
>
> Sei [mm]f_0[/mm] die Funktion, die auf [mm]\IR[/mm] konstant = 2 ist. Sei
> $U:= [mm]\{f \in V: f(3)=0\}[/mm]
>
> Zeige: U ist ein Untervektorraum von V und [mm]A=f_0+U[/mm]
>
a) Zeige [mm]0_v\in U[/mm]: da [mm]f(3)=0[/mm] für [mm]f(x)=0[/mm] erfüllt ist, ist [mm]f(x)=0\in U[/mm]
b) sei [mm]f_1,f_2\in U[/mm] beliebig, dann gilt [mm](f_1+f_2)(3)=0[/mm], da [mm](f_1)(3)=0[/mm] und [mm](f_2)(3)=0[/mm], somit ist [mm](f_1+f_2)\in U[/mm]
c) sei [mm]f_1\in U,\lambda\in\IR[/mm] beliebig, dann gilt [mm]\lambda(f_1)(3)=0[/mm], da [mm](f_1)(3)=0[/mm] und somit [mm]\lambda(f_1)\in U[/mm]
Zudem gilt für alle [mm]f_1\in U:(f_0+f_1)(x)=0+2=2[/mm], also [mm]\{f_0+f_1\left|f_1\in U\}=\{f_0+U\}=A[/mm]
Wäre es so in Ordnung?
Gruß Hanna
> > >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Mo 22.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > > Du mußt zeigen: es gibt einen Untervektorraum U von V und
> > > > ein [mm]f_0 \in[/mm] V mit:
> > > >
> > > > [mm]A=f_0+U[/mm]
> > >
> > > Ich glaube ich verstehe noch nicht was A genau ist - gibt
> > > es denn überhaupt noch andere Funktionen, ausser
> > > [mm]f_1(x)=\bruch{2}{3}x[/mm], die die Bedingung erfüllen -
> > > abgesehen von angehängten Summanden mit Koeffizient = 0?
> >
> > Natürlich: f(x)= [mm]\bruch{2}{9}x^2[/mm]
>
> Das war dann wohl das berühmte Brett vorm Kopf!
> >
> > > Wenn nicht, dann ist doch [mm]A=f_0+U=f_1+U[/mm] mit
> > > [mm]U=\{f:\IR\rightarrow\IR\left|f(x)=x\}[/mm], oder?
> >
> > Blödsinn !!
> >
> > Sei [mm]f_0[/mm] die Funktion, die auf [mm]\IR[/mm] konstant = 2 ist. Sei
> > $U:= [mm]\{f \in V: f(3)=0\}[/mm]
> >
> > Zeige: U ist ein Untervektorraum von V und [mm]A=f_0+U[/mm]
> >
> a) Zeige [mm]0_v\in U[/mm]: da [mm]f(3)=0[/mm] für [mm]f(x)=0[/mm] erfüllt ist, ist
> [mm]f(x)=0\in U[/mm]
>
> b) sei [mm]f_1,f_2\in U[/mm] beliebig, dann gilt [mm](f_1+f_2)(3)=0[/mm], da
> [mm](f_1)(3)=0[/mm] und [mm](f_2)(3)=0[/mm], somit ist [mm](f_1+f_2)\in U[/mm]
>
> c) sei [mm]f_1\in U,\lambda\in\IR[/mm] beliebig, dann gilt
> [mm]\lambda(f_1)(3)=0[/mm], da [mm](f_1)(3)=0[/mm] und somit [mm]\lambda(f_1)\in U[/mm]
>
> Zudem gilt für alle [mm]f_1\in U:(f_0+f_1)(x)=0+2=2[/mm], also
> [mm]\{f_0+f_1\left|f_1\in U\}=\{f_0+U\}=A[/mm]
>
> Wäre es so in Ordnung?
Nicht ganz ! Du hast nur gezeigt: [mm] f_0+U \subseteq [/mm] A.
zeigen mußt Du noch:
A [mm] \subseteq f_0+U
[/mm]
FRED
>
> Gruß Hanna
> > > >
> > >
> >
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> > > Sei [mm]f_0[/mm] die Funktion, die auf [mm]\IR[/mm] konstant = 2 ist. Sei
> > > $U:= [mm]\{f \in V: f(3)=0\}[/mm]
> > >
> > > Zeige: U ist ein Untervektorraum von V und [mm]A=f_0+U[/mm]
> > >
> > a) Zeige [mm]0_v\in U[/mm]: da [mm]f(3)=0[/mm] für [mm]f(x)=0[/mm] erfüllt ist, ist
> > [mm]f(x)=0\in U[/mm]
> >
> > b) sei [mm]f_1,f_2\in U[/mm] beliebig, dann gilt [mm](f_1+f_2)(3)=0[/mm], da
> > [mm](f_1)(3)=0[/mm] und [mm](f_2)(3)=0[/mm], somit ist [mm](f_1+f_2)\in U[/mm]
> >
> > c) sei [mm]f_1\in U,\lambda\in\IR[/mm] beliebig, dann gilt
> > [mm]\lambda(f_1)(3)=0[/mm], da [mm](f_1)(3)=0[/mm] und somit [mm]\lambda(f_1)\in U[/mm]
>
> >
> > Zudem gilt für alle [mm]f_1\in U:(f_0+f_1)(x)=0+2=2[/mm], also
> > [mm]\{f_0+f_1\left|f_1\in U\}=\{f_0+U\}=A[/mm]
> > Wäre es so in Ordnung?
>
> Nicht ganz ! Du hast nur gezeigt: [mm]f_0+U \subseteq[/mm] A.
>
> zeigen mußt Du noch:
>
> A [mm]\subseteq f_0+U[/mm]
Für beliebiges [mm]f_0\in A[/mm] gilt [mm]f_0(3)=2=2+0=(f_0+f_1)(3)[/mm] für [mm]f_1(x)=0[/mm], also ist [mm]A=\{f_0:\IR\rightarrow\IR\left|f_0(3)=2\}=\{f_0:\IR\rightarrow\IR\left|(f_0+f_1)(3)=2,f_1\in U\}=\{f_0+f_1,f_0\in A,f_1\in U\}=\{f_0+U\}[/mm]
Gruß Hanna
> > > > >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 24.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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