affine Varietäten < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:30 Mo 23.08.2010 | | Autor: | makl |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich lerne gerade algebraische Geometrie und es tauchen allerhand Fragen auf. Bei mir wurde zunächst der Begriff des Nullstellengebildes eingeführt und anschließend der Begriff affine algebraische Varietät.
Die Definition lautet so:
Eine Teilmenge [mm] $V\cup\mathbb{A}^n_K$ [/mm] heißt affine algebraische Varietät, wenn eine Teilmenge [mm] $M\subset K[X_1,...,X_n]$ [/mm] existiert, sodass gilt [mm] $V=\mathbb{V}(M)$.
[/mm]
Dabei ist [mm] $\mathbb{V}(M)$ [/mm] das Nullstellengebilde von $M$.
Später wird noch gesagt, dass eine quasiaffine Varietät auch affin genannt wird, wenn sie zu einer algebraischen Varietät Isomorph ist.
Damit folgt für mich, dass wenn eine affne Varietät gegeben ist, noch lange nicht folgt, dass es ein Nullstellengebilde ist. Wenn ich aber zeigen kann, dass eine Menge von Polynomen existiert, deren Nullstellengebilde gleich $V$ ist, dann ist die affine Varietät gelichezeitig ein Nullstellengebilde.
Ist das richtig?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Di 24.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich lerne gerade algebraische Geometrie und es tauchen
> allerhand Fragen auf. Bei mir wurde zunächst der Begriff
> des Nullstellengebildes eingeführt und anschließend der
> Begriff affine algebraische Varietät.
>
> Die Definition lautet so:
> Eine Teilmenge [mm]V\cup\mathbb{A}^n_K[/mm] heißt affine
> algebraische Varietät, wenn eine Teilmenge [mm]M\subset K[X_1,...,X_n][/mm]
> existiert, sodass gilt [mm]V=\mathbb{V}(M)[/mm].
>
> Dabei ist [mm]\mathbb{V}(M)[/mm] das Nullstellengebilde von [mm]M[/mm].
>
> Später wird noch gesagt, dass eine quasiaffine Varietät
> auch affin genannt wird, wenn sie zu einer algebraischen
> Varietät Isomorph ist.
Ich vermute mal, so ein Isomorphismus ist ueber eine polynomielle Abbildung gegeben, die eingeschraenkt auf Quelle und Bild bijektiv ist und deren Umkehrabbildung ebenfalls polynomiell ist?
> Damit folgt für mich, dass wenn eine affne Varietät
Du meinst eine affine quasiaffine Varietaet, oder? Und nicht affine alebraische Varietaet?
> gegeben ist, noch lange nicht folgt, dass es ein
> Nullstellengebilde ist. Wenn ich aber zeigen kann, dass
> eine Menge von Polynomen existiert, deren
> Nullstellengebilde gleich [mm]V[/mm] ist, dann ist die affine
> Varietät gelichezeitig ein Nullstellengebilde.
>
> Ist das richtig?
Da bin ich mir nicht 100%ig sicher. Ich habe den Verdacht, dass eine affine quasiaffine Varietaet bereits eine affine algebraische Varietaet nach eurer Definition ist, zumindest falls $K = [mm] \IC$ [/mm] ist. In dem Fall wuerde es reichen zu zeigen, dass die affine quasiaffine Varietaet als Teilmenge von [mm] $\mathbb{A}^n$ [/mm] abgeschlossen ist (bzgl. der Standardtopologie). Ich denke aber dass das git.
100% sicher bin ich mir aber nicht, aber ein Gegenbeispiel finde ich genausowenig...
Im zweifelsfalls muss man halt wie du vorschlaegst zusaetzlich nachweisen, dass es ein Nullstellengebilde ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 23.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
