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Äußeres Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 Sa 28.10.2017
Autor: Reynir

Hallo,
Ich will für die auf dem Auszug meiner Notizen dargestellte Abbildung zeigen, dass sie ein äußeres Maß ist.
R ist hierbei ein Ring auf einer beliebigen Menge M. Das Argument geht jetzt so, dass man sagt [mm] $A\subset [/mm] B [mm] \Rightarrow U(A)\supset [/mm] U(B)$ und das verstehe ich auch. Jetzt verstehe ich aber nicht, warum daraus folgt, dass [mm] $\nu(A) \le \nu(B)$. [/mm] Ich habe mir das immer so erklärt, dass ich bei einem Infimum wie hier im Fall von [mm] $\nu(A)$ [/mm] über eine "größere" Menge (bitte nicht steinigen) gehe und damit auch kleinere Werte erhalten kann. Es müsste sich doch aber auch [mm] $\nu(A)>\nu(B)$ [/mm] zu einem Widerspruch führen lassen,oder?
Viele Grüße
Reynir

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Äußeres Maß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:11 Sa 28.10.2017
Autor: Reynir

Fehlt noch etwas an Information?

Bezug
        
Bezug
Äußeres Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Sa 28.10.2017
Autor: tobit09

Hallo Reynir!


Deine Notation von $U(A)$ stimmt in mehrerlei Hinsicht nicht, aber das spielt für deine Frage keine Rolle.


Du hast völlig richtig anschaulich argumentiert, dass für je zwei Mengen [mm] $M,N\subseteq \IR\cup\{-\infty,+\infty\}$ [/mm] mit [mm] $M\subseteq [/mm] N$ gilt: [mm] $\inf(M)\ge\inf(N)$. [/mm]

Formal lässt sich das wie folgt zeigen:


Da [mm] $\inf(N)$ [/mm] eine untere Schranke von N ist, ist [mm] $\inf(N)$ [/mm] erst Recht eine untere Schranke von $M$.
(Denn: Sei [mm] $x\in [/mm] M$. Dann ist wegen [mm] $M\subseteq [/mm] N$ auch [mm] $x\in [/mm] N$ und damit [mm] $x\ge\inf(N)$.) [/mm]

Da [mm] $\inf(M)$ [/mm] die größte untere Schranke von M ist, folgt [mm] $\inf(M)\ge\inf(N)$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
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Äußeres Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 So 29.10.2017
Autor: Reynir

Hallo,
Vielen Dank für deine Antwort.
Jetzt würde mich aber noch interessieren, was an der Notation nicht passt, da das die Notation der Dozentin war.
Viele Grüße
Reynir

Bezug
                        
Bezug
Äußeres Maß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:40 So 29.10.2017
Autor: tobit09

[sorry], da ist mir ein Fehler unterlaufen, den ich mir nicht wirklich erklären kann...

Abgesehen davon, dass es hinten in der Definition von [mm] $\nu$ [/mm] eigentlich [mm] $(R_n)_n$ [/mm] statt [mm] $R_n$ [/mm] heißen sollte, habe ich keine Einwände mehr, wenn [mm] $\mathcal{R}$ [/mm] bwz. [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] (das kann ich nicht genau entziffern) hinter dem [mm] $\subseteq$ [/mm] innerhalb der Definition von $U(A)$ ein geeignetes Mengensystem und nicht wie von mir irrtümlich angenommen die Menge der reellen Zahlen bezeichnen soll.

Also gut, dass du nachgefragt hast. :-)

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Bezug
Äußeres Maß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:17 Mi 01.11.2017
Autor: Reynir

Gut, besten Dank.

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