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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Mala23 |
| Aufgabe | Wir betrachten die Menge der Paare ganzer Zahlen (z,n), wobei wir n ungleich Null voraussetzen. Dann definieren wir eine Relation:
(z, n) ~ (z', n') <=> zn'= nz'
Untersuchen Sie, ob es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt. Falls ja, wie könnte man die Äquivalenzklassen beschreiben? Könnte man den Fall, n = 0 unbeschadet zulassen? |
Hallo ihr Lieben,
leider habe ich in der Sitzung zu Äquivalenzrelationen gefehlt. Ich weiß zwar wie man sie bestimmt, also
1. reflexiv (a,a R) ?
2. symmetrisch (a,b R [mm] \wedge [/mm] b,a R) ?
3. transitiv (a,b R [mm] \wedge [/mm] b,c R -> a,c R) ?
Aber wie setze ich das hier genau um?
Das Problem liegt glaube ich darin, dass ich nicht verstehe was dieses [mm] \sim [/mm] bedeuten soll. Ungefähr, ähnlich? Heißt das dann, dass z.B. wenn z.B. (1, 4) ungefähr gleich (2, 5) ist (8 ist ungefähr gleich 10) dann ist auch 1*5 ungefähr gleich 2*4?
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> Wir betrachten die Menge der Paare ganzer Zahlen (z,n),
> wobei wir n ungleich Null voraussetzen. Dann definieren wir
> eine Relation:
>
> (z, n) ~ (z', n') <=> zn'= nz'
>
> Untersuchen Sie, ob es sich dabei um eine
> Äquivalenzrelation handelt. Falls ja, wie könnte man die
> Äquivalenzklassen beschreiben? Könnte man den Fall, n = 0
> unbeschadet zulassen?
> Hallo ihr Lieben,
>
> leider habe ich in der Sitzung zu Äquivalenzrelationen
> gefehlt. Ich weiß zwar wie man sie bestimmt, also
> 1. reflexiv (a,a R) ?
Hallo,
es müßte [mm] (a,a)\in [/mm] R heißen, oder [mm] a\sim [/mm] a, ich erkläre später, wie es geht.
> 2. symmetrisch (a,b R [mm]\wedge[/mm] b,a R) ?
[mm] (a,b)\in [/mm] R ==> [mm] (b,a)\in [/mm] R
bzw.
[mm] a\sim [/mm] b ==> [mm] b\sim [/mm] a
> 3. transitiv (a,b R [mm]\wedge[/mm] b,c R -> a,c R) ?
[mm] (a,b)\in [/mm] R und [mm] (b,c)\in [/mm] R ==> [mm] (a,c)\in [/mm] R
bzw.
[mm] a\sim [/mm] b und [mm] b\sim [/mm] c ==> [mm] a\sim [/mm] c
Dieses [mm] "(x,y)\in [/mm] R" bedeutet, daß x und y in Relation zueinander stehen, in Zeichen [mm] "x\sim [/mm] y" , und was "in Relation zueinander stehen" im Einzelfall bedeuten soll, wird immer erklärt, so auch in Deiner Aufgabe.
>
> Aber wie setze ich das hier genau um?
Genau da liegt die Schwierigkeit. Es ist gut, daß Du schonmal hingeschrieben hast, was eine Äquivalenzrelation ist, welche bedingungen gelten müssen.
In der Relation [mm] \sim [/mm] die Du hast, wird eine Relation nicht zwischen Zahlen, sondern zwischen Zahlenpaaren betrachtet.
Über all, wo Du oben in Deiner Sammlung der Bedingungen für Äquivalenzrlation a,b oder c stehen hast, muß in Deiner konkreten Aufgabe ein Zahlenpaar hin.
> Das Problem liegt glaube ich darin, dass ich nicht verstehe
> was dieses [mm]\sim[/mm] bedeuten soll.
"steht in Realtion zu", bei einer Äquivalenzreltion sagt man auch "ist äquivalent zu".
Wir scheune uns jetzt mal ein paar konkrete Zahlenpaare an, denn Du hast es ja mit einer relation auf der Menge der Zahlenpaare zu tun.
Wir gucken nach, ob (1,4) in Relation zu (2,5) steht.
Dazu schauen wir auf die Def.
> > (z, n) ~ (z', n') <=> zn'= nz'
Aha. Zwei Zahlenpaare stehen in Realtion, wenn das Produkt aus der ersten Komponente des ersten paares mit der zweiten des zweiten dasselbe ergibt wie das Produkt der zweiten Komponente des ersten paares mit der ersten des zweiten. (Das klingt nur wüst, ist aber eigentlcih übersichtlich.)
Schauen wir nun nach für (1,4) und (2,5):
Es ist 1*5=5 und 4*2=8, also stehe die nicht in Relation: (1,4) [mm] \not\sim [/mm] (2,5).
Anders bei (1,4) und (12, 3): 1*12=12, 4*3=12, also (1,4) [mm] \sim [/mm] (12, 3).
Zur Untersuchung, ob es eine Äquivalenzrelation ist:
1. Reflexivität:
Sei (z,n) ein Zahlenpaar mit [mm] z,n\in \IZ.
[/mm]
Du mußt nun prüfen, ob in jedem Fall [mm] (\red{z,n})\sim (\blue{z,n}) [/mm] gilt, ob also immer [mm] \red{z}*\blue{n}=red{n}*\blue{z}.
[/mm]
(Klar ist das der Fall! Wenn Du mal meinst, daß eine Aussage nicht gilt, dann brauchst Du ein konkrets Gegenbeispiel mit Zahlen.)
2. Symmetrie:
Hier hast Du es mit zwei Zahlenpaaren zu tun.
Die Frage ist, ob aus [mm] (z_1, n_1)\sim(z_2, n_2) [/mm] folgt, daß [mm] (z_2, n_2)\sim (z_1, n_1) [/mm] richtig ist.
Zum Beweis:
Sei [mm] (z_1, n_1)\sim(z_2, n_2).
[/mm]
Dann ist nach Def. von [mm] \sim z_1n_2=n_1z_2 [/mm] ==> ...
[Um nun zu klären, ob [mm] (z_2, n_2)\sim (z_1, n_1) [/mm] folgt, mußt Du feststellen, ob aus obigem [mm] z_2n_1=n_2z_1 [/mm] folgt, und falls ja, natürlcih eine Begründung angeben. Hier würde man ein Gesetz des rechnens mit ganzen Zahlen ins feld führen.)
Versuche mal, das zu Ende zu bringen.
Danach kannst Du ja schauen, ob Du aufschreiben kannst, was für die Transitivität zu zeigen ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Mala23 |
Danke für die schnelle und hilfreiche Antwort!!!!
Muss ich bei der Symmetrie jetzt einfach nur zeigen, wie man von [mm] z_{1}*n_{2} [/mm] = [mm] z_{2}*n_{1} [/mm] zu [mm] z_{2}*n_{1} [/mm] = [mm] z_{1}*n_{2} [/mm] kommt?
mir fällt jetzt halt das Kommuntativgesetz ein [mm] a\*b [/mm] = [mm] b\*a. [/mm] Aber reicht das als Begründung?
Und zur Transitivität muss ich zeigen
(z',n') [mm] \sim [/mm] (z'', n'') [mm] \gdw [/mm] z'n'' = z''n'
[mm] \Rightarrow [/mm] (z,n) [mm] \sim [/mm] (z'',n'') [mm] \gdw [/mm] zn'' = z''n
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> Danke für die schnelle und hilfreiche Antwort!!!!
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> Muss ich bei der Symmetrie jetzt einfach nur zeigen, wie
> man von [mm]z_{1}*n_{2}[/mm] = [mm]z_{2}*n_{1}[/mm] zu [mm]z_{2}*n_{1}[/mm] =
> [mm]z_{1}*n_{2}[/mm] kommt?
Hallo,
ja, genau.
>
> mir fällt jetzt halt das Kommuntativgesetz ein [mm]a\*b[/mm] = [mm]b\*a.[/mm]
> Aber reicht das als Begründung?
Ja.
>
> Und zur Transitivität muss ich zeigen
Bei der Transitivität hast Du es mit drei Paaren (z,n), (z',n') und (z'',n'') zu tun.
Zu zeigen ist, daß Du unter der Voraussetzung, daß [mm] (z,n)\sim [/mm] (z',n') und [mm] (z',n')\sim [/mm] (z'',n'') gelten, folgern kannst, daß auch [mm] (z,n)\sim [/mm] (z'',n'') stimmt.
Also:
Sei [mm] (z,n)\sim [/mm] (z',n') und [mm] (z',n')\sim [/mm] (z'',n'')
==> zn'=z'n und z'n''=z''n'
==> ???
[Du mußt zeigen, ob bzw. wie Du aus obigem auf zn''=z''n kommst.
Tipp: multipliziere zn'=z'n mit n'' und trickse ein bißchen mit der anderen Voraussetzung z'n''=z''n' .
Du wirst hier im Verlauf der Rechnung feststellen, daß in der Aufgabenstellung die 0 für n, n', n'' nicht ohne Grund verboten ist.]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Mala23 |
ich muss doch jetzt zeigen dass das hier stimmt:
(z,n) [mm] \sim [/mm] (z'', n'') [mm] \gdw [/mm] zn'' = nz''
oder?
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> ich muss doch jetzt zeigen dass das hier stimmt:
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> (z,n) [mm]\sim[/mm] (z'', n'') [mm]\gdw[/mm] zn'' = nz''
>
> oder?
Hallo,
ja, genau.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Mala23 |
ok ich versuche es mal
muss jetzt eh zur uni
ich melde mich später nochmal
danke :)> > ich muss doch jetzt zeigen dass das hier stimmt:
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:45 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Mala23 |
Hallo nochmal,
ich komme da überhaupt nicht mit klar...das ist ja wie bei induktion wo man herumprobieren muss damit was passt...ich kann sowas gar nich.
kannst du mir helfen,angela?:(
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Hallo Mala,
vielleicht hilft es dir, wenn du verstehst, was
eigentlich hinter diesem Beispiel einer Relation
steckt.
z steht für "Zähler" und n für "Nenner". Da [mm] n\not= [/mm] 0
vorausgesetzt wird und sowohl z als auch n ganze
Zahlen sind, kann man aus z und n den Bruch [mm] \bruch{z}{n}
[/mm]
bilden, welchem eine bestimmte Zahl aus [mm] \IQ [/mm] entspricht.
Brüche kann man erweitern oder kürzen. Zum
Beispiel gilt
[mm] \bruch{3}{8}=\bruch{30}{80}=\bruch{15}{40}
[/mm]
Man kann diese Brüche auch einfach als Zahlenpaare
darstellen. Mit der vorliegenden Relation [mm] \sim [/mm] geschrieben
würde dann einfach gelten:
[mm] (3,8)\sim(30,80)\sim(15,40)
[/mm]
Es gilt ja z.B. [mm] z_1*n_2=3*80=240 [/mm] und [mm] n_1*z_2=8*30=240
[/mm]
also [mm] z_1*n_2=n_1*z_2 [/mm] , und deshalb ist [mm] (3,8)\sim(30,80)
[/mm]
Um jetzt z.B. die Transitivität nachzuweisen, kann man
so vorgehen:
Es seien $\ (a,b)$, $\ (c,d)$ und $\ (e,f)$ Zahlenpaare aus [mm] \IZ\times(\IZ\backslash\{0\})
[/mm]
mit $\ [mm] (a,b)\sim [/mm] (c,d)$ und $\ [mm] (c,d)\sim(e,f)$
[/mm]
Im Klartext bedeutet dies $\ a*d=b*c$ und $\ c*f=d*e$
Nachzuweisen wäre, dass daraus geschlossen werden
kann auf $\ [mm] (a,b)\sim [/mm] (e,f)$ oder anders ausgedrückt: $\ a*f=b*e$
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 So 21.06.2009 | | Autor: | Mala23 |
Wenn ich [mm] a\*d [/mm] = [mm] b\*c [/mm] umforme erhalte ich
d= [mm] \bruch{b\*c}{a} [/mm] und c= [mm] \bruch{a\*d}{b}
[/mm]
Eingesetzt in [mm] c\*f=d\*e [/mm] ergibt das:
[mm] \bruch{a\*d}{b}\*f [/mm] = [mm] \bruch{b\*c}{a}\*e [/mm]
Ist das der richtige Ansatz???
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> Wenn ich [mm]a\*d[/mm] = [mm]b\*c[/mm] umforme erhalte ich
>
> d= [mm]\bruch{b\*c}{a}[/mm] und c= [mm]\bruch{a\*d}{b}[/mm]
>
>
> Eingesetzt in [mm]c\*f=d\*e[/mm] ergibt das:
>
> [mm]\bruch{a\*d}{b}\*f[/mm] = [mm]\bruch{b\*c}{a}\*e[/mm]
>
> Ist das der richtige Ansatz???
Nicht so ganz geschickt ...
Gegebene Gleichungen:
(1) $\ a*d=b*c$
(2) $\ c*f=d*e$
Nachzuweisen: (3) $\ a*f=b*e$
Löse (1) nach a und (2) nach f auf und setze die
Ergebnisse in die linke Seite von (3) ein !
Sei dann beim Kürzen vorsichtig. Da man mit
Null nicht kürzen kann, musst du diesen Fall geson-
dert untersuchen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 So 21.06.2009 | | Autor: | Mala23 |
dann habe ich a= [mm] \bruch{b\*c}{d} [/mm] und [mm] f=\bruch{d\*e}{c}
[/mm]
-> [mm] \bruch{b\*c}{d} *\bruch{d\*e}{c} [/mm] = b*e
dabei muss d und c [mm] \not= [/mm] 0 sein, da im Nenner keine Null stehen darf
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> dann habe ich a= [mm]\bruch{b\*c}{d}[/mm] und [mm]f=\bruch{d\*e}{c}[/mm]
>
> -> [mm]\bruch{b\*c}{d} *\bruch{d\*e}{c}[/mm] = b*e
>
> dabei muss d und c [mm]\not=[/mm] 0 sein, da im Nenner keine Null
> stehen darf
[mm] d\not=0 [/mm] ist ohnehin vorausgesetzt, da ja d einer der
Nenner war
Falls tatsächlich auch [mm] c\not=0 [/mm] ist, darf man kürzen
und kommt deshalb zur Gleichung $\ a*f=b*e$ und hat
damit die Transitivität unter der Voraussetzung [mm] c\not=0
[/mm]
bewiesen.
Es bleibt aber der Fall abzuklären, wo c=0 ist !
Gruß Al
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