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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Di 07.11.2006 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | Man betrachte die folgende Relation auf [mm] \IN^2:
[/mm]
(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) [mm] :\gdw [/mm] a+d=b+c.
a) Man zeige, dass [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IN^2 [/mm] ist.
b) Was ist die Äquivalenzklasse eines Elementes (a,b) [mm] \in \IN^2? [/mm] Man fertige eine Skizze an und zeichne ein beliebiges Element (a,b) [mm] \in \IN^2 [/mm] sowie seine Äquivalenzklasse [(a,b)] ein.
c) Man gebe ein vollständiges Repräsentantensystem an, d.h. eine Teilmenge M [mm] \subset \IN^2, [/mm] die genau ein Element aus jeder Äquivalenzklasse enthält.
d) Man entscheide und beweise bzw. widerlege, ob auch durch die folgende Vorschrift eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IN^2 [/mm] gegeben ist: (a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) [mm] :\gdw [/mm] a+c=b+d. |
Kann mir jemand eine Rückmeldung geben, ob meine Gedanken zur Aufgabe in die richtige Richtung gehen? Vielen Dank!
Zu a) und d) weiß ich, dass ich nachweisen muss, dass die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Und genau da weiß ich nicht weiter.
Wären folgende Schritte für a) ein Beweis?
Die Relation ist reflexiv, da a=b+c-d [mm] \Rightarrow [/mm] a=a+c-d [mm] \forall [/mm] c,d [mm] \in \IN^2: [/mm] c=d.
Die Relation ist symmetrisch, da a=b+c-d [mm] \Rightarrow [/mm] b=a+d-c.
Die Relation ist transitiv, da a,b,c [mm] \in \IN^2: [/mm] a=b [mm] \wedge [/mm] b=c [mm] \Rightarrow [/mm] a=c [mm] \forall [/mm] a,b,c,d [mm] \in \IN^2: [/mm] a=b=c=d.
Zu b) stelle ich mir ein Koordinatensystem vor, in dem ein beliebiges Paar (a,b) eingetragen wird. Aber was genau ist dazu die Äquivalenzklasse?
Zu c) habe ich leider gar keine Idee. Kann mir jemand weiter helfen? Wir haben vollständiges Repräsentantensystem wie folgt definiert: Ein vollständiges Repräsentantensystem I ist gegeben durch die Wahl genau eines Vertreters aus jeder Äquivalenzklasse. A= [mm] \bigcup_{a \in A} [/mm] [a].
Zu d) diese Relation ist doch auch eine Äquivalenzrelation, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Di 07.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Zu a) und d) weiß ich, dass ich nachweisen muss, dass die
> Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Und genau
> da weiß ich nicht weiter.
naja - einfach drauf los wäre ein möglichkeit, oder?
man muss hier einfach nur mit Paaren von Paaren argumentieren..
> Die Relation ist reflexiv, da a=b+c-d [mm]\Rightarrow[/mm] a=a+c-d
> [mm]\forall[/mm] c,d [mm]\in \IN^2:[/mm] c=d.
??? versteh ich nichts von..
du musst zeigen, dass [mm] "$(a,b)\sim [/mm] (a,b)$" (für beliebe a und b aus N) gilt - einfach in die Formel einsetzen und überprüfen, obs stimmt..
> Die Relation ist symmetrisch, da a=b+c-d [mm]\Rightarrow[/mm]
> b=a+d-c.
dasselbe, hier ist zu zeigen, dass aus [mm] "$(a,b)\sim [/mm] (c,d)$" auch folgt, dass [mm] "$(c,d)\sim [/mm] (a,b)$" (für beliebige a,b,c und d aus N)
transitivität analog...
da muss man praktisch immer nur in die Gleichung einsetzen und eine wenig umformen... (kommutativität der addition ausnutzen und so)
>
> Zu b) stelle ich mir ein Koordinatensystem vor, in dem ein
> beliebiges Paar (a,b) eingetragen wird. Aber was genau ist
> dazu die Äquivalenzklasse?
>
nun ja - man wähle (a,b) beliebig.
wenn jetzt die erste Komponent um x einheiten erhöht wird, also c=a+x
und das Paar (c,d) zu (a,b) in Relation stehen soll, also a+d=c+b gelten muss, folgt doch : a+d=a+x+b, dass d=b+x sein muss.
also wenn man die erste Komponente um x erhöht, dann auch die zweite.
Was heißt das für beliebige x als Steigungsdreieck interpretiert?!?
Genau - die Äquivalenzklasse zu (a,b) ist eine bestimmt Gerade durch (a,b)
(aber vorsicht - nur Elemente aus [mm] $\IN^2$ [/mm] nicht alle aus [mm] $\IR^2$)
[/mm]
> Zu c) habe ich leider gar keine Idee. Kann mir jemand
> weiter helfen? Wir haben vollständiges Repräsentantensystem
> wie folgt definiert: Ein vollständiges Repräsentantensystem
> I ist gegeben durch die Wahl genau eines Vertreters aus
> jeder Äquivalenzklasse. A= [mm]\bigcup_{a \in A}[/mm] [a].
du musst eine Menge finden, die aus jeder Äquivalenzklasse genau einen Punkt enthält, also hier eine Gerade, die alle Geraden der Äquivalenzklassen schneidet (aber in Punkten von [mm] $\IN^2$ [/mm] !!)
> Zu d) diese Relation ist doch auch eine Äquivalenzrelation,
> oder?
ist denn reflexivität erfüllt?!?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:55 Do 09.11.2006 | | Autor: | xsara |
Vielen Dank für die Hilfe!
Leider hat mich das nicht weiter gebracht. Ich weiß immer noch nicht, wie man Reflexivität, Symmetrie und Transitivität bei geordneten Paaren nachweist. Für einelementige Mengen ist das klar.
Was muss ich genau nachweisen für "(a,b)~(a,b)"? Welche beliebigen a,b [mm] \in \IN [/mm] muss ich einsetzen?
Vielleicht gibt es ein anderes Beispiel, an welchem ich das verstehe, ohne die Lösung dieser Aufgabe zu erhalten.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Do 09.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo xsara
[mm] (1,2)\sim(1,2) [/mm] denn 1+2=1+2 oder 1-2=1-2, da aus a+d=b+c folgt a-b=c-d.
Das zur Reflexivität.
zur Symmetrie: [mm] (1,2)\sim(7,8) [/mm] denn 1+8=2+7 oder 1-2=7-8
aus [mm] (1,2)\sim(7,8) [/mm] folgt [mm] (7,8)\sim(1,2) [/mm] mit derselben Rechnung wie oben, linke und rechte Seite der Gl, vertauscht!
zur Transitivität: aus [mm] (a,b)\sim(c,d) [/mm] und [mm] (c,d)\sim(e,f) [/mm] folgt [mm] (a,b)\sim(e,f) [/mm] kannst du jetzt sicher selbst.
zu (1,2) hast du schon mal 7,8 und 11,12 und 99,100 in der Äquivalenzklasse und dazu noch 0,1
zu 7,3 sind in der Äquivalenzklasse z. Bsp 100,96 und 22,18 usw und 4,0
jetzt solltest du das meiste sehen!
Beim 2. Beispiel untersuch zuerst die Reflexivität!
Noch ein Rat, wenn du allgemein nicht weiter kommst, nimm immer mal ein Zahlenbeispiel und probier damit rum, viele Leute könnens dann besser!
Fürs Lehramt ganz wichtig: Erst konkrete direkt rechenbare Beispiele, dann abstrahieren!
Gruss leduart
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