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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Mi 11.10.2006 | | Autor: | TimBuktu |
Hallo, folgt aus der Symmetrie und der Transitivität nicht automatisch die Reflexivität? x~y und y~x => x~x
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
Danke
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Hallo und guten Morgen,
leider im allgemeinen nicht, zB ist die leere Menge gesehen als leere Menge von Paaren symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv.
Auch kannst Du allgemein aus der Symmetrie und Transitivität die Eigenschaft [mm] (x,x)\in [/mm] R nur für diejenigen x bekommen, für die es y gibt mit [mm] (x,y)\in [/mm] R.
ZB [mm] R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\} [/mm] als binäre Relation über [mm] \{1,2,3\} [/mm] ist symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv, da [mm] (3,3)\not\in [/mm] R gilt.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Do 12.10.2006 | | Autor: | TimBuktu |
Danke vielmals! Heißt das dann aber nicht, dass im dritten Axiom der Transitivität mit x~y und y~z => x~z gefordert werden müsste dass x ungleich z ist? btw. ein anderes Beispiel was mir grad einfällt ist die Relation "kann sich am Rücken kratzen" oder "ist Bruder von". Cheers
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Do 12.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Danke vielmals! Heißt das dann aber nicht, dass im dritten
> Axiom der Transitivität mit x~y und y~z => x~z gefordert
> werden müsste dass x ungleich z ist?
wieso sollte man das fordern müssen?
eine nicht reflexive Relation, die transitiv ist, muss gewährleisten, dass aus x~y und y~x auch x~x folgt !
(deine "ist bruder von" relation ist also nicht transitiv! (ausser man will, dass man von sich selbst der bruder sein kann))
Wie ja schon weiter oben beschrieben:
aus symmetrie und transitivität folgt nur dann reflexivität, wenn jedes Element auch zu irgendeinem in Relation steht - wenn es also ein Element gibt, dass in keiner Relation steht, dann kannst du transitivität ja nicht darauf anwenden !
Deshalb ist die reflexivität nötig, damit es mindestens zu sich selbst in relation steht !
viele Grüße
DaMenge
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