Äquivalenzrelation/lin abh < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:44 Di 03.11.2009 | | Autor: | Kinghenni |
| Aufgabe | Zeigen Sie die Äquivalenz folgender aussagen
[mm] a){v_1,....,v_m} [/mm] affin abhängig
b)Es ex ein $ [mm] \lambda \in \IR^m, \lambda\not=0, [/mm] $ so dass [mm] \summe_{i=1}^{m}v_i*\lambda_i=0 [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{m}\lambda_i=0
[/mm]
c)die menge [mm] {v_2-v1,.....v_m-v1} [/mm] ist lin abh
d)die Menge [mm] {\vektor{v_1 \\ 1},....,\vektor{v_m \\ 1}}ist [/mm] lin abh |
also ich hänge grad schon [mm] b)\Rightarrow [/mm] c)
dürfte eig nicht schwer sein, aber es ist schon spät^^
also nach b) weiß ich auf jeden fall das [mm] v_1,...,v_m [/mm] lin abh ist
[mm] \Rightarrow v_1=\summe_{i=2}^{m}v_i*\lambda_i=0, \lambda [/mm] egal
könnt ich jetzt auf beiden seiten minus [mm] v_1 [/mm] rechnen?
[mm] \Rightarrow 0=\summe_{i=2}^{m}(v_i-v_1)*\lambda_i, [/mm] dann wäre die summe der beweis das es lin abh ist, aber sicher is da wieder nen denkfehler drin
und wie komm ich von c) zu d)
meine eig könnt ich von b) zu d) wieder mit [mm] \summe_{i=1}^{m}v_i*\lambda_i=0 [/mm] argumentieren,dann ist bei allen mit der 1 in der letzten zeile immernoch lin abh
aber c) zu d) ist einfach stilvoller^^
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> Zeigen Sie die Äquivalenz folgender aussagen
> ....
> [mm]b)\summe_{i=1}^{n}v_i*\lambda_i=0[/mm] und
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\lambda_i=0[/mm]
> c)die menge [mm]{v_2-v1,.....v_m-v1}[/mm] ist lin abh
> d)die Menge [mm]{\vektor{v_1 \\ 1},....,\vektor{v_m \\ 1}}ist[/mm]
> lin abh
Hallo,
mit der Aufgabenstellung kann ich wenig anfangen:
Mal abgesehen davon, daß mich a) durchaus interessieren würde, vermisse ich Angeben, welchem Raum die [mm] v_i [/mm] entstammen sollen, bei b) frage ich mich, ob die Summe wirklich bis n läuft, als nächstes rätsele ich, was n und m miteinander zu tun haben.
Die [mm] \lambda_i [/mm] werden dem zugrundeliegenden Körper entstammen. Aber sonst? "Es existieren [mm] \lambda_i"? [/mm] "Für alle [mm] \lambda_i"? [/mm] Das müßte man schon wissen...
EDIT: Hier stand zuvor grober Unfug.
> also ich hänge grad schon [mm]b)\Rightarrow[/mm] c)
> dürfte eig nicht schwer sein, aber es ist schon spät^^
> also nach b) weiß ich auf jeden fall das [mm]v_1,...,v_m[/mm] lin
> abh ist
[mm] \vektor{0\\0}=0*\vektor{1\\0}+0*\vektor{0\\1}, [/mm] 0+0=0, aber linear abhängig sind die beiden nicht.
> aber c) zu d) ist einfach stilvoller^^
Am stilvollsten wäre (wie gesagt ) die komplette, korrekte Aufgabenstellung. Vorher kann man nicht sinnvoll beginnen.
Gruß v. Angela
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hi
> Mal abgesehen davon, daß mich a) durchaus interessieren
[mm] a){v_1,...,v_m} [/mm] sind affin abhängig, a)->b) hab ich durch definition gelöst
> würde, vermisse ich Angeben, welchem Raum die [mm]v_i[/mm]
> entstammen sollen,
m [mm] \in \IN
[/mm]
bei b) frage ich mich, ob die Summe
> wirklich bis n läuft, als nächstes rätsele ich, was n
> und m miteinander zu tun haben.
hab ich nicht drauf geachtet, m=n, für alle n
> Die [mm]\lambda_i[/mm] werden dem zugrundeliegenden Körper
> entstammen. Aber sonst? "Es existieren [mm]\lambda_i"?[/mm] "Für
> alle [mm]\lambda_i"?[/mm] Das müßte man schon wissen...
b) Es ex ein [mm] \lambda \in \IR^m, \lambda\not=0, [/mm] so dass..
dachte wäre für den weiteren schritt nicht notwendig
> Wenn ich mal davon ausgehe, daß es in b) heißen soll, "es
> gibt solche [mm]\lambda_i",[/mm] dann stimmt die Aussage b)==> c)
> nicht:
>
> [mm]\vektor{0\\0}=0.5\vektor{1\\0}+0.5\vektor{0\\1}-\vektor{1\\1},[/mm]
>
> aber die Vektoren [mm]\vektor{1\\0}-\vektor{1\\1}[/mm] und
> [mm]\vektor{0\\1}-\vektor{1\\1}[/mm] sind sehr wohl linear
> unabhängig.
>
>
> > also ich hänge grad schon [mm]b)\Rightarrow[/mm] c)
> > dürfte eig nicht schwer sein, aber es ist schon
> spät^^
> > also nach b) weiß ich auf jeden fall das [mm]v_1,...,v_m[/mm]
> lin
> > abh ist
>
> [mm]\vektor{0\\0}=0*\vektor{1\\0}+0*\vektor{0\\1},[/mm] 0+0=0, aber
> linear abhängig sind die beiden nicht.
ja hier hab ich [mm] \lambda\not=0 [/mm] vergessen, damit müsste meine aussage wieder stimmen?
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Hallo,
am besten fügst Du all das Fehlende mal in Deine Aufgabenstellung ein. Mit Klick auf "eigenen Artikel " bearbeiten (o.ä.) kannst Du genau das tun, was Dir der Button verspricht.
zu b) ==> c)
Wir wissen also, daß es [mm] \lambda_i [/mm] gibt, von denen mindestens eins von 0 verschieden ist mit
[mm] \lambda_1v_1 +...+\lambda_mv_m=0 [/mm] und [mm] \lambda_1=-(\lambda_2 [/mm] + [mm] ...+\lambda_m)
[/mm]
==>
Es ist [mm] \lambda_2(v_2-v_1) +...+\lambda_m(v_m-v_1)=0.
[/mm]
Wenn Dir nun ein Grund dafür einfällt, daß die [mm] \lambda_i [/mm] nicht alle =0 sind, hast Du gewonnen.
Gruß v. Angela
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> Wir wissen also, daß es [mm]\lambda_i[/mm] gibt, von denen
> mindestens eins von 0 verschieden ist mit
>
> [mm]\lambda_1v_1 +...+\lambda_mv_m=0[/mm] und
> [mm]\lambda_1=-(\lambda_2[/mm] + [mm]...+\lambda_m)[/mm]
>
> ==>
>
> Es ist [mm]\lambda_2(v_2-v_1) +...+\lambda_m(v_m-v_1)=0.[/mm]
>
> Wenn Dir nun ein Grund dafür einfällt, daß die [mm]\lambda_i[/mm]
> nicht alle =0 sind, hast Du gewonnen.
ja wenn wir wissen das 1 [mm] \lambda \not=0 [/mm] ist dann könnte es [mm] \lambda_1 [/mm] sein, dann muss aber auch ein [mm] \lambda_i=-\lambda_1 [/mm] sein (oder eben ne summe von [mm] \lambda [/mm] s) oder [mm] \lambda_1=0, [/mm] dann muss ein [mm] \lambda_i=-\lambda_j
[/mm]
sein für [mm] i\not=j
[/mm]
aber wie komm ich von [mm] c)\to [/mm] d) ich würde jetzt iwie sagen, dass ich am besten noch mal sage das [mm] v_1,...,v_m [/mm] sind lin.abh. und dann wärs mir so trivial das ich garnicht erklären kann das [mm] \vektor{v_1 \\ 1}....lin [/mm] abh sind
mom ich korriegiere, mit b) wüsste ich auf jeden fall das die letzte zeile immer [mm] \vektor{v_1 \\ \lambda_1}.... [/mm] und nach b ist sowohl summe [mm] \lambda [/mm] 0 sowohl als auch [mm] v_i*\lambda_i[/mm]
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> > Wir wissen also, daß es [mm]\lambda_i[/mm] gibt, von denen
> > mindestens eins von 0 verschieden ist mit
> >
> > [mm]\lambda_1v_1 +...+\lambda_mv_m=0[/mm] und
> > [mm]\lambda_1=-(\lambda_2[/mm] + [mm]...+\lambda_m)[/mm]
> >
> > ==>
> >
> > Es ist [mm]\lambda_2(v_2-v_1) +...+\lambda_m(v_m-v_1)=0.[/mm]
> >
> > Wenn Dir nun ein Grund dafür einfällt, daß die [mm]\lambda_i[/mm]
> > nicht alle =0 sind, hast Du gewonnen.
> ja wenn wir wissen das 1 [mm]\lambda \not=0[/mm] ist dann könnte
> es [mm]\lambda_1[/mm] sein, dann muss aber auch ein
> [mm]\lambda_i=-\lambda_1[/mm] sein (oder eben ne summe von [mm]\lambda[/mm]
> s) oder [mm]\lambda_1=0,[/mm] dann muss ein [mm]\lambda_i=-\lambda_j[/mm]
> sein für [mm][mm] i\not=j[/mm
[/mm]
Hallo,
Du denkst hier in die richtige Richtung, aber es überzeugt noch nicht so recht.
Wenn [mm] \lambda_1 [/mm] =0 ist, dann muß nach den Voraussetzungen aus b) eins der anderen [mm] \lambda_i\not=0 [/mm] sein, denn da steht doch [mm] \lambda\not=0.
[/mm]
Und wenn [mm] \lambda\not=0, [/mm] konnen nicht alle anderen [mm] \lambda_i=0 [/mm] sein, denn nach den Voraussetzungen in b) ist ja [mm] \lambda_1=-(\lambda_2+...+\lambda_m)
[/mm]
>
> aber wie komm ich von [mm]c)\to[/mm] d) ich würde jetzt iwie sagen,
> dass ich am besten noch mal sage das [mm]v_1,...,v_m[/mm] sind
> lin.abh.
Woher hast Du das?
> und dann wärs mir so trivial das ich garnicht
> erklären kann das [mm]\vektor{v_1 \\ 1}....lin[/mm] abh sind
Also ist's nicht trivial...
Ich warne vor dem Wörtchen "trivial" - das ist was für Leute, die wirklich durchblicken, und Du kannst Deine Chefs durch den Gebrauch dieses Wörtchens an der falschen Stelle geradezu herausfordern, Dir mal richtig auf den Zahn zu fühlen. Auaaa!!!
Sag' trivial wirklich immer nur, wenn Du's verstehst UND beweisen kannst.
Es ist auch nicht trivial, sondern falsch: [mm] \vektor{1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{2\\0} [/mm] sind linear abhängig, aber [mm] \vektor{1\\0\\1} [/mm] und [mm] \vektor{2\\0\\1} [/mm] nicht.
>
> mom ich korriegiere, mit b) wüsste ich auf jeden fall das
> die letzte zeile immer [mm]\vektor{v_1 \\ \lambda_1}....[/mm] und
> nach b ist sowohl summe [mm]\lambda[/mm] 0 sowohl als auch
> [mm]v_i*\lambda_i[/mm]
Stop! Wenn Du [mm] c)\to [/mm] d) zeigen möchtest, dann darfst Du nicht auf b) zurückgreifen.
Schreib Dir erstmal die Voraussetzungen nochmal richtig auf:
Was bedeutet es, daß [mm] (v_2-v_1), ...,(v_m-v_1) [/mm] linear abhängig sind?
Was mußt Du zeigen, wenn Du zeigen willst, daß die in d) angegebenen Vektoren linear abhängig sind?
Kannst Du vielleicht die Koeffizienten hier geschickt wählen?
Gruß v. Angela
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>> aber wie komm ich von [mm]c)\to[/mm] d) ich würde jetzt iwie sagen,
>> dass ich am besten noch mal sage das [mm]v_1,...,v_m[/mm] sind
>> lin.abh.
>Woher hast Du das?
>> und dann wärs mir so trivial das ich garnicht
>> erklären kann das [mm]\vektor{v_1 \\ 1}....lin[/mm] abh sind
>Also ist's nicht trivial...
ich hatts schon korrigiert, vll hast du noch die alte version gesehn
>Stop! Wenn Du [mm]c)\to[/mm] d) zeigen möchtest, dann darfst Du nicht auf b) zurückgreifen.
ja ich weiß, aber ich würde es einfach gerne^^
>Schreib Dir erstmal die Voraussetzungen nochmal richtig auf:
>Was bedeutet es, daß [mm](v_2-v_1), ...,(v_m-v_1)[/mm] linear unabhängig sind?
naja sie sind aber nach vorraussetzung abhängig, dh jeder vektor lässt sich als lin kombi von den anderen darstellen
>Was mußt Du zeigen, wenn Du zeigen willst, daß die in d) angegebenen Vektoren linear unabhängig sind?
ich will ja zeigen das sie abhängig sind, mein problem ist der zusammenhang der vektoren, es ist einer mehr und sie sehen anders aus
> Kannst Du vielleicht die Koeffizienten hier geschickt wählen?
naja wichtig wäre eben das die 1ser in der letzten zeile null ergeben wenn ich damit argumentiere [mm] \summe_{i=1}^{m}\lambda_i*v_i [/mm] mit nicht alle [mm] \lambda=0
[/mm]
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Hallo,
> >Was bedeutet es, daß [mm](v_2-v_1), ...,(v_m-v_1)[/mm] linear
> unabhängig sind?
> naja sie sind aber nach vorraussetzung abhängig,
Ach ja, das meinte ich natürlich auch.
> dh
> jeder vektor lässt sich als lin kombi von den anderen
> darstellen
Arbeiten kann man mit diesem:
Sie sind linear abhängig genau dann,
wenn es [mm] \mu_i [/mm] gibt, die nicht alle =0 sind , mit [mm] \mu_2 (v_2-v_1)+ ...+\mu_m(v_m-v_1)=0.
[/mm]
> >Was mußt Du zeigen, wenn Du zeigen willst, daß die in
> d) angegebenen Vektoren linear unabhängig sind?
Oh weh, derselbe Fehler. "unabhängig" scheint fest in meinen Fingern einprogrammiert zu sein.
> ich will ja zeigen das sie abhängig sind, mein problem
> ist der zusammenhang der vektoren, es ist einer mehr und
> sie sehen anders aus
> > Kannst Du vielleicht die Koeffizienten hier geschickt
> wählen?
> naja wichtig wäre eben das die 1ser in der letzten zeile
> null ergeben wenn ich damit argumentiere
> [mm]\summe_{i=1}^{m}\lambda_i*v_i[/mm] mit nicht alle [mm]\lambda=0[/mm]
Taj, vielleicht kannst Du ja nun doch aus der Voraussetzung etwas machen.
Was suchst Du denn? Koeffizienten [mm] \nu_1, ...,\nu_m [/mm] mit ....
Möglicherweise kannst Du sie Dir oben zusammenklauben.
Gruß v. Angela
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