Äquivalenzrelation < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Fr 11.12.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Auf [mm] \IZx\IZ [/mm] wird eine Relation definiert durch [mm] (a,b)\sim(c,d) :\gdw [/mm] ad=bc.
Ist [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation? |
hallo,
also ich muss ja zeigen,dass die relation reflexiv,symmetrisch und transitiv ist.
reflexiv:
[mm] (a,b)\sim(a,b) [/mm] , ab = ab [mm] \Rightarrow [/mm] ab-ab=0 [mm] \in \IZ
[/mm]
symmetrisch:
[mm] (a,b)\sim(c,d) [/mm] , ad = bc [mm] \Rightarrow [/mm] ad-bc=0 [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] (c,d)\sim(a,b) [/mm] , cb = da [mm] \Rightarrow [/mm] cb-da=0 [mm] \in \IZ
[/mm]
transitiv:
[mm] \exists [/mm] (e,f) [mm] \in \IZ^{2} [/mm] mit cf = ed
allerdings weiß ich an der stelle nicht so recht weiter.
und ich bin mir bei der notation vom anfang der aufgabe auch nicht ganz sicher.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Fr 11.12.2009 | | Autor: | nooschi |
also ich verstehe deine Lösung nicht so ganz, was das Z da zu suchen hat und deine Variablen, die du glaub ich etwas falsch verwendest.... Die Äquivalenzrelation ist auf Z definiert, aber du musst nicht das untersuchen, sondern, eben ob es eine Äquivalenzrelation ist...
mein Lösungsvorschlag:
i) [mm] (a,b)\sim(a,b), [/mm] denn: a*b=b*a
ii) [mm] (a,b)\sim(c,d) \Rightarrow (c,d)\sim(a,b), [/mm] denn: [mm] (a,b)\sim(c,d) \Rightarrow [/mm] a*d=b*c [mm] \Rightarrow [/mm] c*b=d*a [mm] \Rightarrow (c,d)\sim(a,b)
[/mm]
iii) [mm] ((a,b)\sim(c,d)\wedge(c,d)\sim(e,f)) \Rightarrow (a,b)\sim(e,f), [/mm] denn:
[mm] (a,b)\sim(c,d) \Rightarrow [/mm] a*d=b*c [mm] \Rightarrow [/mm] a/b=c/d
[mm] (c,d)\sim(e,f) \Rightarrow [/mm] c*f=d*e [mm] \Rightarrow [/mm] c/d=e/f
[mm] \Rightarrow [/mm] a/b=e/f [mm] \Rightarrow [/mm] a*f=e*b=b*e [mm] \Rightarrow (a,b)\sim(e,f)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Fr 11.12.2009 | | Autor: | simplify |
aha,ich glaube,dass ich dann ein grundzätzliches problem mit der schreibweise hatte bzw. mit dem was ich zeigen wollte.
trotzdem ist doch meine relation auf/in [mm] \IZ [/mm] beschrieben,dann darf ich doch nicht teilen,oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Fr 11.12.2009 | | Autor: | nooschi |
doch schon, du darfst für die einzelnen Variablen (also a-f) einfach nur Elemente von Z einsetzten und dann normal rechnen, wie mans aus der Schule kennt. das einzige Problem, was ich übersehen habe, ist, falls wir eine 0 haben, dann darf man natürlich nicht teilen.
man müsste im Fall iii) also noch eine schöne Fallunterscheidung einbauen...
ääh ich hab das gerade versucht, aber gemerkt, dass wenn man a=b=0 einsetzt, dass das dann äquivalent zu jedem beliebigen [mm] (c,d)\in\IZ [/mm] ist, d.h. das wiederspricht dem Satz, dass eine Menge durch Äquivalenzrelationen in disjunkte Mengen zerlegt wird. also wäre das keine Äquivalenzrelation?? sorry, blick grad selber nicht mehr durch.
ah, naja, die Frage ist ja gerade, ob das überhaupt eine Äquivalenzrelation ist und da würde ich jetzt mal behaupten, dass es eben wegen (0,0) keine ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Fr 11.12.2009 | | Autor: | pelzig |
Also erstens macht die Aussage, dass die Relation auf [mm] $\IZ$ [/mm] definiert wird keinen Sinn, wenn schon dann auf [mm] $\IZ^2$ [/mm] oder ähnlichem. Die Symmetrie und Reflexivität wurde ja glaube ich schon gezeigt. Dann wurde ja schon festgestellt, dass man auf ganz [mm] $\IZ^2$ [/mm] ein Problem hat: $(0,0)$ steht zu jedem Element in Relation und nun hat man z.B. [mm] (1,0)\sim(0,0)\sim(0,1), [/mm] aber [mm] $(1,0)\not\sim(0,1)$, [/mm] d.h. die Relation ist nicht transitiv. Was man aber machen kann ist die Relation auf die Menge [mm] $\IZ\times(\IZ\setminus\{0\})$ [/mm] einzuschränken, dann geht (hoffentlich) alles glatt.
Bei der Transitivität tauchte weiter die Frage auf ob man denn einfach Teilen kann, die Frage ist natürlich berechtigt.
Also aus algebraischer Sicht ist es prinzipiell möglich [mm] $\IZ$ [/mm] als Teilmenge (genauer: als Unterring) von [mm] $\IQ$ [/mm] aufzufassen, seine Rechnung in den rationalen Zahlen durchzuführen und dann am Ende (falls möglich) in die ganzen Zahlen zurückzuwechseln. Das ist ja letztlich auch der "Sinn" der Zahlenbereichserweiterungen. Aber wenn man von den rationalen Zahlen noch nichts weiß ist das natürlich sehr fragwürdig - und diese Konstruktion die hier gemacht wird ist nunmal genau die Weise, wie man die rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen konstruiert.
Es geht nämlich auch ohne "Division", wenn man weiß, dass [mm] $\IZ$ [/mm] ein Integritätsbereich ist (d.h. aus $ab=0$ folgt a=0 oder b=0). In Integritätsbereichen darf man nämlich "kürzen, ohne zu dividieren". Das heißt: ist $ab=cb$ und [mm] $b\ne [/mm] 0$, so $(a-c)b=0$, also (hier benutzen wir "Integritätsbereich") muss a-c=0 sein, d.h. a=c. Nun überleg nochmal wie du damit die Transitivität zeigen kannst...
Gruß, Robert
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