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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 So 28.10.2007 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | Seien M,N nichtleere Mengen und f: M [mm] \to [/mm] N eine surjektive Abbildung.
i) Zeigen Sie, daß durch die Vorschrift x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\gdw [/mm] f(x) =f(y), für alle x,y [mm] \in [/mm] M eine Äquvalenzrelation erklärt wird.
ii) Wir bezeichnen mit M| [mm] \sim [/mm] die Menge der Äquvalenzklassen bezüglich der unter i) definierten Äquivalenzrelation [mm] \sim [/mm] .
Zeigen Sie, daß dann durch [mm] f^{ \sim} [/mm] :M| [mm] \sim \to [/mm] N, [mm] f^{ \sim} [/mm] ([m]):=f(m) eine bijektive Abbildung definiert wird. (bei [mm] f^{ \sim} [/mm] soll das [mm] \sim [/mm] über dem f sein.) |
Kann mir wer bitte dabei helfen, muss ich bei i) das einfach nur irgendwie umformen? Ich weiß nicht wie ich das ganze machen soll.
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> Seien M,N nichtleere Mengen und f: M [mm]\to[/mm] N eine surjektive
> Abbildung.
> i) Zeigen Sie, daß durch die Vorschrift x [mm]\sim[/mm] y [mm]:\gdw[/mm]
> f(x) =f(y), für alle x,y [mm]\in[/mm] M eine Äquvalenzrelation
> erklärt wird.
Hallo,
heirzu mußt Du zeigen, daß die so definierte Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 So 28.10.2007 | | Autor: | chipbit |
also....1)
x [mm] \sim [/mm] x [mm] \gdw [/mm] f(x) = f(x)
2) x [mm] \sim [/mm] y also f(x) = f(y), da = symmetrisch ist gilt auch
f(y) = f(x) also y [mm] \sim [/mm] x
3) (x [mm] \sim [/mm] y) [mm] \wedge [/mm] (y [mm] \sim [/mm] z) [mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \sim [/mm] z) [mm] \gdw [/mm] f(x)=f(y) [mm] \wedge [/mm] f(y)=f(z) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=f(z)
Richtig??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Mo 29.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Richtig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 Mo 29.10.2007 | | Autor: | chipbit |
okay das habe ich inzwischen fertig gemacht....wie gehe ich denn jetzt an ii) ran?? hat das [mm] f^\sim [/mm] eine bestimmte Bedeutung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Mo 29.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mach dir mal ein Bild einer surjektiven Abbildung, etwa auf ner endlichen Menge.(oder sieh dirs in wiki an)
Welche Punkte darin sind dann in einer Äquivalenzklasse?
jetzt bildet [mm] f^{\sim} [/mm] Äquivalenzklassen ab. überleg dir, obs dann ne Umkehrabbildung gibt, mit der du vom Bild wieder eindeutig zu ner Äquivalenzklasse zurück kommst.
Also erstens klar machen, was ne Äquivalenzklasse ist, und zweitens , was ne bijektive Abbildung ist.
Bei solchen Aufgaben kommts immer nur drauf aan, zu zeigen dass man die Begriffe, bezw. Definitionen verstanden hat.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Mo 29.10.2007 | | Autor: | chipbit |
also... im ersten Teil der Aufgabe war ja schon gezeigt worden das auf einer Menge M zwei Elemente äquivalent sind, wenn sie gleich sind
x [mm] \sim [/mm] y : [mm] \gdw [/mm] x=y
- die Äquivalenzklasse eines Elementes x ist die einelementige Menge {x}
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 Mo 29.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein , die Äquivalenzklasse von x enthält alle Elemente, die äquivalent zu x sind.
Du hattest doch die Äquivalenzklassen etwa mod 5, die Grundmenge sind alle ganzen Zahlen. [mm] n\sim [/mm] n wenn n und m denselben 5er Rest haben.
in einer Klasse sind dann 5,10,15,..1115. i einer anderen 2,7,12,.. 10002 usw.
wenn [mm] x\sim [/mm] y dan sind sie in derselben Äquivalenzklasse.
Wenn du also so ein Pfeilbild für surjektive Abb. machst, sind alle Punkte in M die auf dasselbe Element in N zeigen eine Äquivalenzklasse.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:11 Mo 29.10.2007 | | Autor: | chipbit |
heißt also alle Elemente aus M die in N das gleich Bild haben sind in einer Äquivalenzklasse? okay.... aber es heißt doch das bei bijektiven Abbildungen jedem Element aus M genau ein Element aus N, und umgekehrt, zugeordnet wird....und das dadurch bijektive Abbildungen auch eine Umkehrabbildung haben...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:25 Mo 29.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] f^{\sim} [/mm] bildet ja nicht M ab sondern die Äquivalenzklseen [mm] M|\sim [/mm] !
noch mal der Rat nach ein paar Stunden Schlaf gehts schneler.
Gute Nacht
leduart
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