Äquivalenzrelation < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Es sei (G,o) eine Gruppe und H eine Untergruppe.
a) Man zeige, dass durch [mm] (g_1,g_2) [/mm] aus R : [mm] \gdw g_1^{-1} [/mm] o [mm] g_2 [/mm] aus H eine Äquivalenzrelation auf G gegeben wird.
b) Wir nehmen an, dass man durch [mm] [g_1] [/mm] * [mm] [g_2] [/mm] := [mm] [g_1 [/mm] o [mm] g_2] [/mm] eine Abbildung (G/R) x (G/R) -> (G/R) definieren kann. Man zeige, dass dann für alle g aus G und h aus H gilt:
[mm] g^{-1} [/mm] o h o g aus H. |
hi! könnt ihr mir bitte helfen diese aufgabe zu lösen?
bei der a) hab ich versucht die 3 eigenschaften nachzuweisen:
1.)Reflexivität:
[mm] (g_1,g_1) [/mm] aus R , da [mm] g_1^{-1} [/mm] o [mm] g_1 [/mm] aus H (untergruppe)
2.) Symmetrie
[mm] (g_1,g_2) [/mm] aus R [mm] \gdw (g_2,g_1) [/mm] aus R
also [mm] g_1^{-1} [/mm] o [mm] g_2 [/mm] aus H [mm] \gdw g_2^{-1} [/mm] o [mm] g_1 [/mm] aus H
3.) Transitivität
[mm] (g_1,g_2) [/mm] uas R , [mm] (g_2,g_3) [/mm] aus R [mm] \gdw (g_1,g_3) [/mm] aus R
[mm] g_1^{-1} [/mm] o [mm] g_2 [/mm] aus H [mm] \gdw g_2^{-1} [/mm] o [mm] g_3 [/mm] aus H [mm] \gdw g_1^{-1} og_3 [/mm] aus H
und bei der b weiß ich leider gar nicht wie ich das zeigen kann...?
gruß riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> Es sei (G,o) eine Gruppe und H eine Untergruppe.
> a) Man zeige, dass durch [mm](g_1,g_2)[/mm] aus R : [mm]\gdw g_1^{-1}[/mm]
> o [mm]g_2[/mm] aus H eine Äquivalenzrelation auf G gegeben wird.
> b) Wir nehmen an, dass man durch [mm][g_1][/mm] * [mm][g_2][/mm] := [mm][g_1[/mm] o
> [mm]g_2][/mm] eine Abbildung (G/R) x (G/R) -> (G/R) definieren kann.
> Man zeige, dass dann für alle g aus G und h aus H gilt:
> [mm]g^{-1}[/mm] o h o g aus H.
> hi! könnt ihr mir bitte helfen diese aufgabe zu lösen?
> bei der a) hab ich versucht die 3 eigenschaften
> nachzuweisen:
> 1.)Reflexivität:
> [mm](g_1,g_1)[/mm] aus R , da [mm]g_1^{-1}[/mm] o [mm]g_1[/mm] aus H (untergruppe)
Genau.
> 2.) Symmetrie
> [mm](g_1,g_2)[/mm] aus R [mm]\gdw (g_2,g_1)[/mm] aus R
> also [mm]g_1^{-1}[/mm] o [mm]g_2[/mm] aus H [mm]\gdw g_2^{-1}[/mm] o [mm]g_1[/mm] aus H
Warum gilt das? (Tipp: Was ist $(g [mm] \circ h)^{-1}$?)
[/mm]
> 3.) Transitivität
> [mm](g_1,g_2)[/mm] uas R , [mm](g_2,g_3)[/mm] aus R [mm]\gdw (g_1,g_3)[/mm] aus R
So ist das sicher nicht formuliert. Das ist naemlich fuer fast alle Aequivalenzrelationen falsch! (Hint: [mm] $\Rightarrow$ [/mm] anstatt [mm] $\gdw$!)
[/mm]
> [mm]g_1^{-1}[/mm] o [mm]g_2[/mm] aus H [mm]\gdw g_2^{-1}[/mm] o [mm]g_3[/mm] aus H [mm]\gdw g_1^{-1} og_3[/mm] aus H
Die Aequivalenzzeichen [mm] ($\gdw$) [/mm] in der letzten Zeile meinst du nicht ernst, oder?!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Riley |
hi felix!
oops, sorry, das waren zu viele äquivalenzzeichen...
zur transitivität:
[mm] g_1^{-1} [/mm] o [mm] g_2 [/mm] aus H [mm] \wedge g_2^{-1} [/mm] o [mm] g_3 [/mm] aus H [mm] \Rightarrow g_1^{-1} [/mm] o [mm] g_3 [/mm] aus H.
so ists besser, oder? nur begründen kann ich das nicht...
hm, bei der symmetrie weiß ich auch noch nicht weiter was (g o [mm] h)^{-1} [/mm] ist...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> oops, sorry, das waren zu viele äquivalenzzeichen...
> zur transitivität:
> [mm]g_1^{-1}[/mm] o [mm]g_2[/mm] aus H [mm]\wedge g_2^{-1}[/mm] o [mm]g_3[/mm] aus H
> [mm]\Rightarrow g_1^{-1}[/mm] o [mm]g_3[/mm] aus H.
> so ists besser, oder?
Genau.
> nur begründen kann ich das nicht...
Du hast [mm] $g_1^{-1} \circ g_2, g_2^{-1} \circ h_3 \in [/mm] H$, und wenn du zwei Elemente aus $H$ miteinander verknuepfst liegt das Ergebnis wieder in $H$. Bringt dich das auf eine Idee?
> hm, bei der symmetrie weiß ich auch noch nicht weiter was
> (g o [mm]h)^{-1}[/mm] ist...?
Also $(g [mm] \circ h)^{-1}$ [/mm] ist [mm] $h^{-1} \circ g^{-1}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Riley |
Hi felix!
aha, danke für die tipps *idee*, meinst du so bei der transitivität:
[mm] (g_1^{-1} [/mm] o [mm] g_2) [/mm] o [mm] (g_2^{-1} [/mm] o [mm] g_3 [/mm] ) = [mm] g_1^{-1} [/mm] o [mm] g_3 \in [/mm] H, das sich [mm] g_2 [/mm] o [mm] g_2^{-1} [/mm] weghebt?
und bei einer untergruppe die verknüpfung zweier Elemente wieder in der Untergruppe liegt?
und zur Symmetrie:
[mm] (g_1^{-1} [/mm] o [mm] g_2)^{-1} [/mm] = [mm] g_2^{-1} [/mm] o [mm] (g_1^{-1})^{-1} [/mm] = [mm] g_2^{-1} [/mm] o [mm] g_1 \in [/mm] H, da das Inverselement auch wieder in der Untergruppe sein muss?
grüßle riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hoi Riley!
> aha, danke für die tipps *idee*, meinst du so bei der
> transitivität:
>
> [mm](g_1^{-1}[/mm] o [mm]g_2)[/mm] o [mm](g_2^{-1}[/mm] o [mm]g_3[/mm] ) = [mm]g_1^{-1}[/mm] o [mm]g_3 \in[/mm]
> H, das sich [mm]g_2[/mm] o [mm]g_2^{-1}[/mm] weghebt?
> und bei einer untergruppe die verknüpfung zweier Elemente
> wieder in der Untergruppe liegt?
Genau!
> und zur Symmetrie:
> [mm](g_1^{-1}[/mm] o [mm]g_2)^{-1}[/mm] = [mm]g_2^{-1}[/mm] o [mm](g_1^{-1})^{-1}[/mm] =
> [mm]g_2^{-1}[/mm] o [mm]g_1 \in[/mm] H, da das Inverselement auch wieder in
> der Untergruppe sein muss?
Exakt!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Riley |
okay, danke dir vielmals!!
hast du vielleicht zu teil b) auch noch einen tipp für mich *hoff* ?
hab mir grad überlegt, ob es nicht eigentlich heißen sollte
[mm] [g_1] [/mm] * [mm] [g_2] [/mm] := [mm] [g_1^{-1} [/mm] o [mm] g_2] [/mm] statt [mm] [g_1 [/mm] o [mm] g_2] [/mm] ?
weiß nur leider gar nicht wie man da am besten anfängt ... *grübel*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> okay, danke dir vielmals!!
>
> hast du vielleicht zu teil b) auch noch einen tipp für mich
> *hoff* ?
>
> hab mir grad überlegt, ob es nicht eigentlich heißen
> sollte
> [mm][g_1][/mm] * [mm][g_2][/mm] := [mm][g_1^{-1}[/mm] o [mm]g_2][/mm] statt [mm][g_1[/mm] o [mm]g_2][/mm] ?
Nein, das soll es nicht heissen. So wie es da im ersten Posting steht ist es schon richtig.
Schau dir doch mal $[h] [mm] \ast [/mm] [g] = [h g]$ an. Da $[h]$ das neutrale Element in $G/R$ ist (da $h [mm] \in [/mm] H$) ist $[h] [mm] \ast [/mm] [g]$ ja gleich $[g]$, also ist $[g] = [h g]$. Und was bedeutet das nun?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Riley |
hi felix!
tausend dank für deine hilfe... wenn [g]=[hg] , darf ich dann schreiben:
[mm] g^{-1} [/mm] o h o g = [mm] g^{-1} [/mm] o g [mm] \in [/mm] H ??
gruß riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> tausend dank für deine hilfe... wenn [g]=[hg] , darf ich
> dann schreiben:
> [mm]g^{-1}[/mm] o h o g = [mm]g^{-1}[/mm] o g [mm]\in[/mm] H ??
Wieso sollte das Gleichheitszeichen gelten?! Das gilt nur dann, wenn $h$ das neutrale Element in $G$ ist.
Wenn $[g] = [h g]$ ist, dann ist $g [mm] \sim [/mm] h g$. Und das heisst...?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Riley |
hi felix!
achso... ich glaub jetzt hab ichs:
g~ hg bedeutet (g, h g) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw g^{-1} [/mm] o ( h g) [mm] \in [/mm] H
also [mm] g^{-1} [/mm] h g [mm] \in [/mm] H ????
dankeschön
gruß riley :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> achso... ich glaub jetzt hab ichs:
> g~ hg bedeutet (g, h g) [mm]\in[/mm] R [mm]\gdw g^{-1}[/mm] o ( h g) [mm]\in[/mm] H
> also [mm]g^{-1}[/mm] h g [mm]\in[/mm] H ????
Genau 
> dankeschön
Bitteschoen!
LG Felix
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