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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Mo 08.03.2010 | | Autor: | s-jojo |
| Aufgabe | | "Haben zwei Äquivalenzklassen ein gemeinsames Element, so sind sie gleich." |
Wieso ist das so? Ich komm irgendwie nicht drauf, wie man diese Schlussfolgerung ziehen kann. Ich meine wenn die eine Äquivalenzklasse zum Beispiel aus den Leuten besteht, die den gleichen Namen haben (Susanne oder so), die andere Äquivalenzklasse aus denen, die am gleichen Tag geboren sind (10.10.). Es kann doch eine Susanne geben, die sowohl zu der einen als auch zu der anderen Ä-klasse gehört, aber die Ä-klassen sind trotzdem nicht gleich!
Hab ich gerade ein Brett vor dem Kopf oder wieso kann ich mir das nicht vorstellen? :D
P.S.:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. :P
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Hallo!
> "Haben zwei Äquivalenzklassen ein gemeinsames Element, so
> sind sie gleich."
> Wieso ist das so? Ich komm irgendwie nicht drauf, wie man
> diese Schlussfolgerung ziehen kann. Ich meine wenn die eine
> Äquivalenzklasse zum Beispiel aus den Leuten besteht, die
> den gleichen Namen haben (Susanne oder so), die andere
> Äquivalenzklasse aus denen, die am gleichen Tag geboren
> sind (10.10.). Es kann doch eine Susanne geben, die sowohl
> zu der einen als auch zu der anderen Ä-klasse gehört,
> aber die Ä-klassen sind trotzdem nicht gleich!
Man sollte den Satz leicht abändern, sonst stimmt er nicht:
"Haben zwei Äquivalenzklassen bzgl. einer Äquivalenzrelation ein gemeinsames Element, so sind sie gleich."
Bei dir geht es um zwei verschiedene Äquivalenzrelationen, nämlich einmal der des Geburtstags und einmal der des Namens. Dann gilt natürlich nicht die Pauschalaussage, dass die Klassen auch "Äquivalenzrelationsübergreifend" gleich sind.
Warum klappt es bzgl. einer Äquivalenzrelation:
Sei [mm] $a\in[x]$ [/mm] und [mm] $a\in [/mm] [y]$.
Wegen [mm] $a\in [/mm] [x]$ gilt [mm] $a\sim [/mm] x$. Aus der Kommutativität folgt [mm] $x\sim [/mm] a$. Wegen [mm] $a\in [/mm] [y]$ gilt [mm] $a\sim [/mm] y$.
Aus der Transitivität folgt nun [mm] $x\sim [/mm] y$, also [mm] $x\in [/mm] [y]$ bzw. [mm] $y\in [/mm] [x]$.
Das bedeutet aber gerade $[x] = [y]$.
(denn wegen [mm] $x\in [/mm] [y]$ steht jedes Element, dass mit y in Relation steht, auch mit x in Relation)
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Mo 15.03.2010 | | Autor: | s-jojo |
Achso! Jetzt hab ich's verstanden! :) Dankeschön
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