Äquivalenzklasse Vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum und U ein Untervektorraum.
[mm] \sim [/mm] mit $v [mm] \sim [/mm] w [mm] :\gdw [/mm] v - w [mm] \in [/mm] U$ ist eine Äquivalenzrelation auf V.
Wir bezeichnen die Äquivalenzklasse von [mm] $v\in [/mm] V$ mit $[v]$ und die Menge der Äquivalenzklassen sei $V /U := [mm] \{ [v] | v \in V \}$.
[/mm]
Zeigen Sie: Die Äquivalenzklasse von $v [mm] \in [/mm] V$ lässt sich formulieren als $[v] = v + U := [mm] \{v + u | u \in U \}$
[/mm]
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Hallo!
Mein Beweis scheint mir noch etwas holprig, deswegen wollte ich euch darum bitten, ein kritisches Auge darauf zu werfen  :
Beweis: Es ist eine Gleichheit von Mengen zu zeigen, und zwar die Folgende:
[mm] $\{x\in U: v-x \in U\} [/mm] = [mm] \{v + u | u \in U \}$.
[/mm]
(Da $[v] = [mm] \{x\in U: v \sim x\} [/mm] = [mm] \{x\in U: v-x \in U\}$ [/mm] )
" [mm] \subset [/mm] ":
Sei $x [mm] \in \{x\in U: v-x \in U\}$, [/mm] d.h. $v-x [mm] \in [/mm] U$. Zu zeigen ist, dass sich x schreiben lässt als $v+u$ mit [mm] $u\in [/mm] U$.
Nun, es ist $x = x - v + v = (x-v) + v$, und da [mm] $(v-x)\in [/mm] U$, ist natürlich auch $(x-v) = [mm] -(v-x)\in [/mm] U$. Damit lässt sich x in der Form [mm]x = u + v[/mm] schreiben mit [mm]u = (x-v)\in U[/mm], also ist [mm] $x\in \{v + u | u \in U\}$.
[/mm]
" [mm] \supset [/mm] ":
Sei [mm] $x\in \{v + u | u \in U\}$, [/mm] d.h. es existiert ein [mm] $u\in [/mm] U$ sodass $x = u+v$. Zu zeigen ist, dass [mm] $x\in [/mm] [v]$, d.h. dass [mm] $v-x\in [/mm] U$.
Naja, es ist $v-x = v - (u+v) = [mm] -u\in [/mm] U$, da [mm] $u\in [/mm] U$. Damit ist [mm] $v-x\in [/mm] U$, also [mm] $x\in [/mm] [v]$.
Mache ich irgend etwas falsch? Das ist nun doch etwas sehr einfach...
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 Mo 07.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
v ist doch i. A. nicht aus U.
deshalb ist schon deine erste Darstellung falsch. nach Definition eines unterraums liegt mit [mm] x\in [/mm] U und [mm] v-x\in [/mm] U auch v [mm] \in [/mm] U
d. h. alle Vektoren aus U gehören von alleine zu der Äquivalenzklasse. Das scheinst du zu zeigen.
Aber die Äquivalenzklasse enthält doch auch [mm] v\in [/mm] V mit [mm] v\not\in [/mm] U
Bsp im [mm] R^2
[/mm]
sei der Unterraum Span von (1,0) (die x- Achse)
v=(a,b) ist äquivalent zu w=(c,b) nach definition, da [mm] v-w=(a-c,0)\in [/mm] U
weder v noch w liegen in U.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
erstmal danke für deine Antwort. Ich glaube verstanden zu haben, worauf du hinauswolltest: Es handelt sich ja um eine Äquivalenzrelation auf V, ich habe aber auf U operiert (wo nur durch Zufall das richtige rauskommen kann).
Wäre es so besser: " [mm] \subset [/mm] "
Sei $x [mm] \in \{x\in \red{V}: v-x \in U\}$, [/mm] d.h. $v-x [mm] \in [/mm] U$. Zu zeigen ist, dass sich x schreiben lässt als $v+u$ mit [mm] $u\in [/mm] U$.
Nun, es ist $x = x - v + v = (x-v) + v$, und da [mm] $(v-x)\in [/mm] U$, ist natürlich auch $(x-v) = [mm] -(v-x)\in [/mm] U$. Damit lässt sich x in der Form [mm]x = u + v[/mm] schreiben mit [mm]u = (x-v)\in U[/mm], also ist [mm] $x\in \{v + u | u \in U\}$.
[/mm]
?
Der Beweis für [mm] \supset [/mm] würde ja der Gleiche bleiben.
Wenn das oben falsch sein sollte, verstehe ich nicht ganz, was du mir mit "ich benutze, dass v in U liegt", sagen wolltest, weil ich es doch gar nicht benutze?
Danke für erneute Hilfe 
Grüße,
Stefan
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> Wäre es so besser:
Hallo,
vorher war es falsch, und nun ist es richtig. Insofern also auch besser.
> " [mm]\subset[/mm] "
>
> Sei [mm]x \in \{x\in \red{V}: v-x \in U\}[/mm], d.h. [mm]v-x \in U[/mm]. Zu
> zeigen ist, dass sich x schreiben lässt als [mm]v+u[/mm] mit [mm]u\in U[/mm].
>
> Nun, es ist [mm]x = x - v + v = (x-v) + v[/mm], und da [mm](v-x)\in U[/mm],
> ist natürlich
Statt der Natürlichkeit könntest Du hier das Axiom anführen - kommt hat drauf an, wie natürlich das Natürliche bei Euch ist.
> auch [mm](x-v) = -(v-x)\in U[/mm]. Damit lässt sich
> x in der Form [mm]x = u + v[/mm] schreiben mit [mm]u = (x-v)\in U[/mm], also
> ist [mm]x\in \{v + u | u \in U\}[/mm].
>
> ?
>
> Der Beweis für [mm]\supset[/mm] würde ja der Gleiche bleiben.
> Wenn das oben falsch sein sollte, verstehe ich nicht ganz,
> was du mir mit "ich benutze, dass v in U liegt", sagen
> wolltest, weil ich es doch gar nicht benutze?
Verdeckt "benutzt" Du es schon.
Du schreibst fälschlicherweise
[mm] [v]=\{x\in U| x-v\in U\}.
[/mm]
da wir wissen, daß [mm] v\in [/mm] [v], müßte also Deiner Def. nach [mm] v\in [/mm] U sein.
Gruß v. Angela
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Hallo,
vielen Dank, Angela, für deine Antwort!
> > Nun, es ist [mm]x = x - v + v = (x-v) + v[/mm], und da [mm](v-x)\in U[/mm],
> > ist natürlich
>
> Statt der Natürlichkeit könntest Du hier das Axiom
> anführen - kommt hat drauf an, wie natürlich das
> Natürliche bei Euch ist.
>
> > auch [mm](x-v) = -(v-x)\in U[/mm].
Finde ich gut, das Argument der "Natürlichkeit" Sollte ich öfter anwenden
Nein, also das ist so, weil U als K-Vektorraum natürlich insbesondere eine abelsche Gruppe (U,+) ist, und wenn [mm] $u\in [/mm] U$, dann ist auch [mm] $-u\in [/mm] U$ (wobei -u das additiv inverse zu u bezeichnet).
Grüße,
Stefan
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