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Äquivalenzklasse- und relation: 2 Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:35 Sa 28.04.2012
Autor: Ptolemaios

Hi,

ich habe folgende Aufgaben, bei denen ich mir nicht sicher bin, ob der Lösungsweg stimmt...
Danke im Voraus für Eure Hilfe!


Aufgabe 1
Zeigen Sie: Wenn x [mm] \not\in [/mm][mm][a]_r[/mm] , dann gilt [mm][a]_r[/mm] [mm]\cap[/mm] [mm][x]_r[/mm] = {}.



Lösungsweg: Sei [mm][a]_r \cap [x]_r[/mm] [mm]\neq[/mm] {}. Dann gibt es ein i [mm] \in[/mm]M mit i [mm] \in[/mm][mm][a]_r[/mm] und i [mm]\in [x]_r[/mm]. Damit ist i [mm] \sim[/mm]a und i [mm] \sim[/mm]x. Aus der Tranisitivität folgt a [mm] \sim[/mm]x und damit [mm][a]_r = [x]_r[/mm]. Jedoch ist [mm][a]_r = [x]_r[/mm] ein Widerspruch zu [mm][a]_r \cap [x]_r \neq {}[/mm] {}, sodass [mm][a]_r \cap [x]_r = {}[/mm] {} gelten muss.



Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion f: X x Y [mm]\to[/mm]Z. Zeigen Sie, dass folgende Relation eine Äquivalenzrelation ist:
(x, x')|für alle y [mm] \in [/mm]Y gilt f(x, y) = f(x', y)



Lösungsweg: Äquivalenzrelation:
i) reflexiv: [mm]\forall x \in X \wedge y \in Y[/mm] gilt x R x [mm]\wedge[/mm]y R y
ii) symmetrisch: [mm]\forall x \in X \wedge y \in Y[/mm] gilt x R y [mm]\wedge[/mm] y R x
iii) transitiv: [mm]\forall x \in X \wedge y \in Y \wedge z \in Z[/mm] gilt (x R y [mm]\wedge[/mm]y R z) [mm]\Rightarrow[/mm]x R z


        
Bezug
Äquivalenzklasse- und relation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Sa 28.04.2012
Autor: tobit09

Hallo Ptolemaios,


> Zeigen Sie: Wenn x [mm]\not\in [/mm][mm][a]_r[/mm] , dann gilt [mm][a]_r[/mm] [mm]\cap[/mm]
> [mm][x]_r[/mm] = {}.
>  
>
> Lösungsweg: Sei [mm][a]_r \cap [x]_r[/mm] [mm]\neq[/mm] {}. Dann gibt es ein
> i [mm]\in[/mm]M mit i [mm]\in[/mm][mm][a]_r[/mm] und i [mm]\in [x]_r[/mm]. Damit ist i [mm]\sim[/mm]a
> und i [mm]\sim[/mm]x. Aus der Tranisitivität folgt a [mm]\sim[/mm]x

Da geht auch die Symmetrie ein. Bis hierhin gut!

> und damit [mm][a]_r = [x]_r[/mm].

Warum?

> Jedoch ist [mm][a]_r = [x]_r[/mm] ein
> Widerspruch zu [mm][a]_r \cap [x]_r \neq {}[/mm] {}

Nein.

Leite einen Widerspruch zur Voraussetzung [mm] $x\not\in[a]_r$ [/mm] her.


> Gegeben ist die Funktion f: X x Y [mm]\to[/mm]Z. Zeigen Sie, dass
> folgende Relation eine Äquivalenzrelation ist:
>  (x, x')|für alle y [mm]\in [/mm]Y gilt f(x, y) = f(x', y)
>  
>
> Lösungsweg: Äquivalenzrelation:
>  i) reflexiv: [mm]\forall x \in X \red(\wedge y \in Y\red)[/mm] gilt x R x
> [mm]\red(\wedge[/mm]y R [mm] y$\red)$ [/mm]
>  ii) symmetrisch: [mm]\forall x \in X \wedge y \in Y[/mm] gilt x R y
> [mm]\wedge[/mm] y R x
>  iii) transitiv: [mm]\forall x \in X \wedge y \in Y \wedge z \in Z[/mm]
> gilt (x R y [mm]\wedge[/mm]y R z) [mm]\Rightarrow[/mm]x R z

Da hast du die Definition einer Äquivalenzrelation hingeschrieben. Zeigen sollst du, dass die gegebene Relation diese Eigenschaften hat.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Äquivalenzklasse- und relation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Sa 28.04.2012
Autor: Ptolemaios

Hi,

zur 1. Aufgabe: Aus der Transitivität folgt: a [mm]\sim[/mm]x [mm]\gdw[/mm]x [mm]\in[/mm] a. Dadurch gilt [mm][a]_r[/mm] = [mm][x]_r[/mm] und [mm][a]_r \cap [x]_r[/mm] [mm]\neq[/mm] {}.
Allerdings nehmen wir am Anfang an, dass x [mm]\not\in[/mm] [mm][a]_r[/mm], somit sind die beiden Äquivalenzklassen disjunkt und ihr Schnitt ist die leere Menge.

Ist das richtig?


Zur 2. Aufgabe: Leider weiß ich da nicht so recht wie ich rangehen soll? Kannst Du es mir an der Reflexivität erklären, dann kann ich den Rest sicherlich nachvollziehen?

Danke!

Gruß Ptolemaios


Bezug
                        
Bezug
Äquivalenzklasse- und relation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Sa 28.04.2012
Autor: tobit09


> zur 1. Aufgabe: Aus der Transitivität folgt: a [mm]\sim[/mm]x [mm]\gdw[/mm]x
> [mm]\in[/mm] [mm] \red[a\red{]_r}. [/mm]

Damit hast du den Widerspruch zu $x [mm] \not\in [a]_r$. [/mm]

> Dadurch gilt [mm][a]_r[/mm] = [mm][x]_r[/mm]

Warum? Nutzt du irgendein Resultat aus der Vorlesung?

> und [mm][a]_r \cap [x]_r[/mm] [mm]\neq[/mm] {}.
>  Allerdings nehmen wir am Anfang an, dass x [mm]\not\in[/mm] [mm][a]_r[/mm],
> somit sind die beiden Äquivalenzklassen disjunkt und ihr
> Schnitt ist die leere Menge.

Warum?


> Zur 2. Aufgabe: Leider weiß ich da nicht so recht wie ich
> rangehen soll? Kannst Du es mir an der Reflexivität
> erklären, dann kann ich den Rest sicherlich
> nachvollziehen?

O.K. Sei [mm] $x\in [/mm] X$. Zu zeigen ist, dass x mit sich selbst in Relation steht, d.h. dass $f(x,y)=f(x,y)$ für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ gilt. Letzteres ist aber trivial.

Bezug
                                
Bezug
Äquivalenzklasse- und relation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:08 So 29.04.2012
Autor: Ptolemaios

Zur 1. Aufgabe:
Ab dem Widerspruch zu x [mm]\not\in[/mm][mm][a]_r[/mm] weiß ich nicht weiter.
Man sieht ja durch die Transitivität, dass x [mm]\in[/mm] [mm][a]_r[/mm], wenn wir annehmen, dass [mm][a]_r \cap [x]_r \neq [/mm] {} ist. Dann ist man doch fertig, weil das Gegenteil die eigentliche Aufgabe [mm][a]_r \cap [x]_r =[/mm] {} für [mm]x \not\in [a]_r[/mm] somit wahr ist ist?




Zur 2. Aufgabe:
Reflexivität: x [mm]\sim[/mm]x gilt, denn: f(x, y) = f(x, y)
Symmetrie: x [mm]\sim[/mm] y [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\sim[/mm] x gilt, denn: f(x) = f(y) => f(y) = f(x)
Transitivität: x [mm]\sim[/mm] y, y [mm]\sim[/mm] z [mm]\Rightarrow[/mm]x [mm]\sim[/mm] z gilt, denn: f(x) = f(y), f(y) = f(z) [mm]\Rightarrow[/mm]f(x) = f(z)

Stimmt das?


Bezug
                                        
Bezug
Äquivalenzklasse- und relation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 So 29.04.2012
Autor: tobit09


> Zur 1. Aufgabe:
>  Ab dem Widerspruch zu x [mm]\not\in[/mm][mm][a]_r[/mm] weiß ich nicht
> weiter.

Da bist du ja auch schon fertig! :-) Damit hast du einen Widerspruch aus der Annahme, der Schnitt sei nichtleer hergeleitet. Also war die Annahme falsch und der Schnitt ist leer.

>  Man sieht ja durch die Transitivität, dass x [mm]\in[/mm] [mm][a]_r[/mm],
> wenn wir annehmen, dass [mm][a]_r \cap [x]_r \neq[/mm] {} ist. Dann
> ist man doch fertig, weil das Gegenteil die eigentliche
> Aufgabe [mm][a]_r \cap [x]_r =[/mm] {} für [mm]x \not\in [a]_r[/mm] somit
> wahr ist ist?

[ok] Genau.


> Zur 2. Aufgabe:
> Reflexivität: x [mm]\sim[/mm]x gilt, denn: f(x, y) = f(x, y)

Für alle [mm] $y\in [/mm] Y$, genau.

>  Symmetrie: x [mm]\sim[/mm] y [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\sim[/mm] x gilt, denn: f(x)
> = f(y) => f(y) = f(x)
>  Transitivität: x [mm]\sim[/mm] y, y [mm]\sim[/mm] z [mm]\Rightarrow[/mm]x [mm]\sim[/mm] z
> gilt, denn: f(x) = f(y), f(y) = f(z) [mm]\Rightarrow[/mm]f(x) =
> f(z)

An sich stimmt es, nur die Bezeichnungen sind unglücklich gewählt.

Etwa bei der Symmetrie ist von $f(x,y)=f(x',y)$ für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ ausgehend zu folgern, dass auch $f(x',y)=f(x,y)$ für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ gilt. (Und das ist trivial.)

Bezug
                                                
Bezug
Äquivalenzklasse- und relation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:50 So 29.04.2012
Autor: Ptolemaios

Danke für Deine Hilfe! [ok]

Gruß Ptolemaios


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