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| Aufgabe | Sei h: [mm] \IC [/mm] \ [mm] \IZ \to \IC [/mm] holomorph. Zeige, dass Aussagen i) und ii)äquivalent sind:
i) Es gilt: 1) h ist ungerade, also h(-z) = - h(z) für alle z [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] \IZ
[/mm]
2) 2h(2z) = h(z) + h(z+ [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] für alle z [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2} \IZ
[/mm]
3) Für alle m [mm] \in \IZ [/mm] ist h(z) - [mm] \bruch{1}{z-m} [/mm] bei m holomorph fortsetzbar.
ii) h(z) = [mm] \pi cot(\pi [/mm] z) für alle z [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] \IZ [/mm] |
Hallo,
Ich hab bei der Aufgabe einige Schwierigkeiten.
Ich zeige hier:
i) [mm] \Rightarrow [/mm] ii):
Ich soll hier als Tipp die Fkt. j(z) := h(z) - [mm] \pi cot(\pi [/mm] z) betrachten. Angenommen, j [mm] \not=0, [/mm] dann gibt es nach dem Maximumprinzip ein c [mm] \in \partial B_{2}(0) [/mm] mit |j(c)| > |j(z)| für alle z [mm] \in B_{2}(0). [/mm] Also gilt nach Def. von j auch: |h(c) - [mm] \pi cot(\pi [/mm] c)| > |h(z) - [mm] \pi cot(\pi [/mm] z)|.
Um nun die Aussage " h(z) = [mm] \pi cot(\pi [/mm] z) für alle z [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] \IZ" [/mm] zu zeigen, muss ich also zeigen, dass j(z) = 0 ist, oder? Ich versteh nicht ganz, wie ich hier ii) zu zeigen habe, genau: wie ich auf h(z) = [mm] \pi cot(\pi [/mm] z) komme. KAnn mir bitte da jemand helfen?
ii) [mm] \Rightarrow [/mm] i):
Angenommen, es gilt h(z) = [mm] \pi cot(\pi [/mm] z) für alle z [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] \IZ.
[/mm]
Zu zeigen sind nun die 3 Aussagen in i). Also:
1) h(-z) = [mm] \pi cot(\pi [/mm] (-z)) = [mm] \pi \bruch{cos(\pi (-z))}{sin(\pi (-z))} [/mm] = [mm] \pi \bruch{cos(\pi z)}{-sin(\pi z)} [/mm] = - [mm] \pi cot(\pi [/mm] z) = -h(z) (denn cos ist gerade und sin ungerade). Stimmts so? Ich denk schon. 
2) 2h(2z) = 2 [mm] \pi cot(\pi [/mm] 2z) = 2 [mm] \pi cot(2\pi [/mm] z) = 2 [mm] \pi [/mm] cot(z) weil cot doch periodisch ist, oder? Ich komm aber nicht auf die verlante Version:
2h(2z) = h(z) + h(z+ [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] für alle z [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2} \IZ.
[/mm]
3) Ich versteh hier nicht, wie ich hier vorgehen muss. Kann mir da jemand helfen? Muss man hier den Riemannschen Fortsetzungssatz anwenden? Ich versteh nicht den Sinn bei der 3).
Ich hoffe, mir kann geholfen werden!
Danke, milka
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 05.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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