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Äquivalenz von Metriken: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:09 So 15.04.2012
Autor: Levit

Aufgabe
Seien [mm] $d_1$ [/mm] und [mm] $d_2$ [/mm] definiert durch [mm] §d_1((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\begin{cases} \left| x_1-x_2 \right|, & y_1=y_2\\ \left| x_1-x_2 \right|+1, & \text{sonst}\end{cases}§ [/mm]
und [mm] $d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2)=$\left|| (x_1-x_2),(y_1-y_2))\right||_2 [/mm]

Ist die Metrik [mm] d_1 [/mm] auf [mm] \IR^2 [/mm] äquivalent zu [mm] d_2? [/mm]

Hallo an alle.

Also ich weiß dass zwei Metriken äquivalent sind, wenn eine Folge im ersten Raum genau dann konvergiert, wenn sie auch im zweiten Raum konvergiert. Und dass eine Folge im metrischen Raum konvergiert, wenn [mm] \limes_{x \to \infty}d(x_k,x)=0 [/mm] gilt.

Nun weiß ich aber nicht genau, wie ich dass hier nachweisen soll. Zumal ich ja ein Tupel in den Metriken habe.

Vielleicht kann mir jemand einen Ansatz liefern.

Danke schon mal

        
Bezug
Äquivalenz von Metriken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:45 So 15.04.2012
Autor: steppenhahn

Hallo,


> Seien [mm]d_1[/mm] und [mm]d_2[/mm] definiert durch
> [mm]§d_1((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\begin{cases} \left| x_1-x_2 \right|, & y_1=y_2\\ \left| x_1-x_2 \right|+1, & \text{sonst}\end{cases}§[/mm]
>  
> und [mm]d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2)=[/mm][mm] \left|| (x_1-x_2),(y_1-y_2))\right||_2[/mm]
>  
> Ist die Metrik [mm]d_1[/mm] auf [mm]\IR^2[/mm] äquivalent zu [mm]d_2?[/mm]
>  Hallo an alle.
>  
> Also ich weiß dass zwei Metriken äquivalent sind, wenn
> eine Folge im ersten Raum genau dann konvergiert, wenn sie
> auch im zweiten Raum konvergiert. Und dass eine Folge im
> metrischen Raum konvergiert, wenn [mm]\limes_{x \to \infty}d(x_k,x)=0[/mm]
> gilt.
>
> Nun weiß ich aber nicht genau, wie ich dass hier
> nachweisen soll. Zumal ich ja ein Tupel in den Metriken
> habe.


Vielleicht stimmt es ja gar nicht.
Hast du dir schonmal ein Beispiel angeguckt?

Führe doch mal mit beiden Metriken eine Konvergenzbetrachtung der Folge

[mm] $\left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)$ [/mm]

gegen den Grenzwert

$(0,0)$

durch.


Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Äquivalenz von Metriken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 So 15.04.2012
Autor: Levit

Erst mal danke für die Antwort, gerne probiere ich es für das Beispiel aus.
Nur leider weiß ich nicht genau wie ich das jetzt machen kann.
Meine Folge [mm] $x_k$ [/mm] ist doch sicher nicht das Tupel [mm] $(x_1,y_1)$? [/mm]  Aber moment, ich weiß ja dass eine Folge [mm] $(x_k,y_k)$ [/mm]  in $X,Y$ genau dann gegen $(x',y')$ konvergiert, wenn [mm] $x_k$ [/mm] in $X$ gegen $x'$ und [mm] $y_k$ [/mm] in $Y$ gegen $y'$ konvergiert. Also kann ich die Tupel $(x,y)$ getrennt betrachten, richtig?

Bezug
                        
Bezug
Äquivalenz von Metriken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:21 So 15.04.2012
Autor: steppenhahn

Hallo,


>  Meine Folge [mm]x_k[/mm] ist doch sicher nicht das Tupel [mm](x_1,y_1)[/mm]?

Also wir haben jetzt [mm] $x_n [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)$ [/mm] und $x = (0,0)$.


>  Aber moment, ich weiß ja dass eine Folge [mm](x_k,y_k)[/mm]  in
> [mm]X,Y[/mm] genau dann gegen [mm](x',y')[/mm] konvergiert, wenn [mm]x_k[/mm] in [mm]X[/mm]
> gegen [mm]x'[/mm] und [mm]y_k[/mm] in [mm]Y[/mm] gegen [mm]y'[/mm] konvergiert. Also kann ich
> die Tupel [mm](x,y)[/mm] getrennt betrachten, richtig?


Nein! Du hast hier doch gar nicht ein Kreuzprodukt von zwei metrischen Räumen. Außerdem lässt sich die Metrik [mm] $d_2$ [/mm] doch gar nicht im eindimensionalen betrachten.

Du musst alles im [mm] $\IR^2$ [/mm] durchführen.

Fangen wir mal mit [mm] $d_1$ [/mm] an:

[mm] $d_1(x_n, [/mm] x) = [mm] ||(\frac{1}{n} [/mm] - 0, [mm] \frac{1}{n} [/mm] - [mm] 0)||_2 [/mm] = ...$

wogegen konvergiert das?

[mm] $d_2(x_n,x) [/mm] = ...$

(Ja, es ist hier [mm] $(x_1,y_1) [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)$ [/mm] und [mm] $(x_2, y_2) [/mm] = (0,0)$, wenn du das in die Metrik einsetzt).

Grüße,
Stefan

Bezug
                                
Bezug
Äquivalenz von Metriken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:33 So 15.04.2012
Autor: Levit

Alles klar, danke.

Ginge es alternativ auch zu zeigen, dass [mm] $(\IR^2,d_1)$ [/mm] kein vollständiger metrischer Raum ist? Denn dann konvergiert die Metrik ja auch für Folgen, in diesem Fall Cauchy-Folgen, nicht.

Bezug
                                        
Bezug
Äquivalenz von Metriken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 So 15.04.2012
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Ginge es alternativ auch zu zeigen, dass [mm](\IR^2,d_1)[/mm] kein
> vollständiger metrischer Raum ist?

Das wird dir nicht gelingen, denn es ist einer.

> Denn dann konvergiert
> die Metrik ja auch für Folgen, in diesem Fall
> Cauchy-Folgen, nicht.


Wenn ihr einen Satz hattet der Form:

2 Metriken äquivalent --> Vollständigkeit der zugehörigen 2 Räume äquivalent

dann geht das. Du müsstest dann also zeigen, dass der Raum mit der Metrik [mm] d_2 [/mm] nicht vollständig ist.

Grüße,
Stefan




Bezug
                                                
Bezug
Äquivalenz von Metriken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:48 So 15.04.2012
Autor: Levit

Aber grade [mm] $(\IR^2,d_2)$ [/mm] ist doch ein metrischer Raum, da im [mm] $\IR^2$ [/mm] doch jede Norm einen vollständigen Raum bildet. Oder habe ich das falsch in Erinnerung?

Bezug
                                                        
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Äquivalenz von Metriken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:26 So 15.04.2012
Autor: SEcki


> Aber grade [mm](\IR^2,d_2)[/mm] ist doch ein metrischer Raum, da im
> [mm]\IR^2[/mm] doch jede Norm einen vollständigen Raum bildet. Oder
> habe ich das falsch in Erinnerung?

Alles richtig. Beide sind vollständig.

SEcki


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