Äquivalenz von Mengen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Sa 10.11.2012 | | Autor: | MrPan |
| Aufgabe | Entscheiden Sie ob folgende Funktion injetkiv, surjetkiv oder bijjektiv ist, woran erkennt man Surjektiviät am Funktiongraphen?
f: [mm] \IR^2 \mapsto \IR,(x1,x2) \mapsto [/mm] x1
Seien A,B,M,N Mengen und f: M [mm] \mapsto [/mm] N eine Abbildung. Beweisen Sie für A, B [mm] \subseteq [/mm] M dass gilt:
(a) [mm] f(A\cup B)=f(A)\cup [/mm] f(B)
(b) [mm] f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap [/mm] f(B)
(c) Wann gilt [mm] f(A\cap B)\not\subseteq f(A)\cap [/mm] f(B) |
Hi,
zu f(x1, x2) = x1
Meiner Meinung nach ist sie war injektiv(weil jedem Tupel eine Zahl und zwar x1 zugeordnet wird), allerdings bin ich mir bei der Surjektivität nicht ganz sicher, spontan würd ich sagen das es nicht so ist weil z. B. x1=1 unendlich viele tupel mit (1,n) zugeordnet werden. Surjektivität erkennt man daran, dass der Graph keine Extrempunkte hat, und für den ganzen Wertebereich definiert ist?
a) N =N
f(x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \in [/mm] N = f(x [mm] \in [/mm] A) [mm] \in [/mm] N [mm] \vee [/mm] f(x [mm] \in [/mm] B ) [mm] \in [/mm] N und ich denke die beiden kann man einfach zusammenfassen?
b) [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] N : y [mm] \in [/mm] N' [mm] \wedge [/mm] N [mm] \not= [/mm] N'
[mm] \forall [/mm] f(x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \in [/mm] N: y [mm] \in [/mm] N' ) [mm] \wedge [/mm] f(x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \not= [/mm] f(x [mm] \in [/mm] A) [mm] \wedge (f(x\in [/mm] B)) Bin ich auf den richtigen weg und fällt mir nur keine Formel zur Vereinfachung ein oder lieg ich falsch?
Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Sa 10.11.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin MrPan
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Entscheiden Sie ob folgende Funktion injetkiv, surjetkiv
> oder bijjektiv ist, woran erkennt man Surjektiviät am
> Funktiongraphen?
>
> f: [mm]\IR^2 \mapsto \IR,(x1,x2) \mapsto[/mm] x1
>
Injektivitaet folgt, wenn du aus [mm] $f(x_1,x_2)=f(y_1,y_2)$ [/mm] folgern kannst [mm] $x_1=y_1$ [/mm] und [mm] $x_2=y_2$. [/mm] (Das kannst du hier nicht, die Funktion ist *nicht* injektiv).
Surjektivitaet bedeutet, dass du zu jedem [mm] $y\in\IR$ [/mm] ein Paar [mm] $(x_1,x_2)$ [/mm] angeben kannst mit [mm] $f(x_1,x_2)=y$. [/mm] Das kann man offensichtlich, die Funktion *ist* surjektiv.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:49 So 11.11.2012 | | Autor: | MrPan |
Vielen Dank!
Viel umformen und Beweisen kann ich ja da nicht.
also f(x1,x2)=x1 ist nicht injektiv, da aus f(x2) nicht folgt =x2
aber surjektiv da [mm] \forall [/mm] y [mm] \exists [/mm] x1,x2 [mm] \in [/mm] R : x1,x2 = f^-1(x1)?
Irgendwie sieht mir das nicht nach einen Beweis aus.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 So 11.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank!
>
> Viel umformen und Beweisen kann ich ja da nicht.
>
> also f(x1,x2)=x1 ist nicht injektiv, da aus f(x2) nicht
> folgt =x2
Nein. Was machst Du da ? Es ist z.B. f(0,0)=0=f(0,1). Damit ist f nicht injektiv.
>
> aber surjektiv da [mm]\forall[/mm] y [mm]\exists[/mm] x1,x2 [mm]\in[/mm] R : x1,x2 =
> f^-1(x1)?
Unsinn ! Wo ist y geblieben ?
Ist y gegeben, so finde ein Paar [mm] (x_1,x_2) [/mm] mit [mm] f(x_1,x_2)=y.
[/mm]
FRED
>
> Irgendwie sieht mir das nicht nach einen Beweis aus.
>
>
> gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 So 11.11.2012 | | Autor: | MrPan |
Vielen Dank für deine Antwort!
Surjektivität heißt doch [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] R: [mm] \exists [/mm] x1,x2 [mm] \in R^2: [/mm] f(x1,x2) = y
das heißt das ich die Umkehrfunktion begründen oder? also f^-1(y) = x1,x2 mein Problem liegt irgendwie darin das ich nicht weiß was ich angeben soll und was nicht.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 So 11.11.2012 | | Autor: | luis52 |
> Vielen Dank für deine Antwort!
>
> Surjektivität heißt doch [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] R: [mm]\exists[/mm] x1,x2
> [mm]\in R^2:[/mm] f(x1,x2) = y
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> das heißt das ich die Umkehrfunktion begründen oder?
Was meinst du mit begründen? Es gibt keine Umkehrfunktion, da $f$ nicht injektiv ist.
> also f^-1(y) = x1,x2 mein Problem liegt irgendwie darin das
> ich nicht weiß was ich angeben soll und was nicht.
Waehle [mm] $y\in\IR$. [/mm] Es ist ein [mm] $(x_1,x_2)\in\IR^2$ [/mm] anzugeben mit [mm] $f(x_1,x_2)=y$. [/mm] Es ist [mm] $(y,0)\in\IR^2$ [/mm] und $f(y,0)=y$. Das war's.(Ich haette auch [mm] $(y,\pi)$ [/mm] waehlen koenne.)
vg Luis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Entscheiden Sie ob folgende Funktion injetkiv, surjetkiv
> oder bijjektiv ist, woran erkennt man Surjektiviät am
> Funktiongraphen?
>
> f: [mm]\IR^2 \mapsto \IR,(x1,x2) \mapsto[/mm] x1
>
> Seien A,B,M,N Mengen und f: M [mm]\mapsto[/mm] N eine Abbildung.
> Beweisen Sie für A, B [mm]\subseteq[/mm] M dass gilt:
>
> (a) [mm]f(A\cup B)=f(A)\cup[/mm] f(B)
>
> (b) [mm]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap[/mm] f(B)
>
> (c) Wann gilt [mm]f(A\cap B)\not\subseteq f(A)\cap[/mm] f(B)
> Hi,
>
> zu f(x1, x2) = x1
>
> Meiner Meinung nach ist sie war injektiv(weil jedem Tupel
> eine Zahl und zwar x1 zugeordnet wird), allerdings bin ich
> mir bei der Surjektivität nicht ganz sicher, spontan würd
> ich sagen das es nicht so ist weil z. B. x1=1 unendlich
> viele tupel mit (1,n) zugeordnet werden. Surjektivität
> erkennt man daran, dass der Graph keine Extrempunkte hat,
> und für den ganzen Wertebereich definiert ist?
>
> a) N =N
die Feststellung [mm] $N=N\,$ [/mm] ist genauso spannend wie [mm] $0=0\,.$ [/mm] ![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]")
>
> f(x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\in[/mm] N = f(x [mm]\in[/mm] A) [mm]\in[/mm] N [mm]\vee[/mm] f(x
> [mm]\in[/mm] B ) [mm]\in[/mm] N und ich denke die beiden kann man einfach
> zusammenfassen?
Da steht nun einfach total skriptisch wirres Zeug. (Da steht halt wirklich
einfach "nur mehr oder weniger sinnloses und unzusammenhängendes" Zeugs,
das heißt aber nicht, dass Du Dir nicht vielleicht sinnvolles dabei gedacht
hast.)
Du hast zu zeigen, dass sowohl die linke Seite Teilmenge der rechten
ist auch als umgekehrt. Ich zeige Dir nun, dass die linke Teilmenge
der rechten ist, den Rest machst DU:
Wir nehmen uns IRGENDEIN $y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cup [/mm] B)$ her: Nach Definition von
$f(A [mm] \cup [/mm] B)$ existiert dann (mindestens) ein $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ so, dass
[mm] $y=f(x)\,.$ [/mm] Für $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ gilt aber $x [mm] \in [/mm] A$ oder $x [mm] \in [/mm] B$ (NICHT
"entweder oder", sondern "oder").
Es gilt also nun
1. Fall: Ist $x [mm] \in A\,,$ [/mm] so folgt $f(x) [mm] \in f(A)\,,$ [/mm] also $f(x)=y [mm] \in f(A)\,.$ [/mm] Klar ist,
dass $f(A) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cup f(B)\,,$ [/mm] also folgt $f(x)=y [mm] \in [/mm] (f(A) [mm] \cup f(B))\,$;
[/mm]
oder
2. Fall: Ist $x [mm] \in B\,,$ [/mm] so folgt ... (das führst bitte auch DU zu Ende!).
> b) [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] N : y [mm]\in[/mm] N' [mm]\wedge[/mm] N [mm]\not=[/mm] N'
>
> [mm]\forall[/mm] f(x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\in[/mm] N: y [mm]\in[/mm] N' ) [mm]\wedge[/mm]
> f(x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\not=[/mm] f(x [mm]\in[/mm] A) [mm]\wedge (f(x\in[/mm]
> B)) Bin ich auf den richtigen weg und fällt mir nur keine
> Formel zur Vereinfachung ein oder lieg ich falsch?
Da weiß ich auch nicht mehr, was Du nun machen willst - denk' mal drüber
nach, ob Du wirklich Symbole verwenden willst, wenn Du nicht mehr selbst
verstehst, was dann da steht - schreib's lieber erstmal in Worten. Das
obige ist jedenfalls leider ziemlich sinnfrei, wenngleich ich mir an
manchen Stellen denken kann, was Du meinen könntest.
Zur Aufgabe b): Zu zeigen ist $f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] (f(A) [mm] \cap f(B))\,.$
[/mm]
Nehmen wir uns also IRGENDEIN $y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)$ her. Dann gibt es (mind.) ein
$x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$ mit [mm] $y=f(x)\,.$ [/mm] Es gilt also $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] B:$
Was folgt dann für $f(x)$ sowohl bzgl. [mm] $f(A)\,$ [/mm] als auch bzgl. [mm] $f(B)\,$?
[/mm]
Bei der Aufgabe c) sollte wohl gefragt sein, wann $(f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)) [mm] \not\subseteq [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)$ gilt?
Falls dem so ist, dann denke über Inkjektivität bzw. Nichtinjektivität nach.
Was aber auch sein könnte, ist, dass in der Aufgabe c) gefragt ist,
wann [mm] $f(A\cap B)\subsetneqq (f(A)\cap [/mm] f(B))$ gilt:
Hier würde ich auf jeden Fall Dich nochmal bitten, die Aufgabenstellung
genau wiederzugeben.
Denn so, wie Du es geschrieben hast: Diese Frage
> (c) Wann gilt [mm]f(A\cap B)\not\subseteq (f(A)\cap f(B))[/mm]
wäre wegen der Lösung zu b) trivial zu beantworten: niemals!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 So 11.11.2012 | | Autor: | MrPan |
Vielen Dank für deine Antwort!
> > a) N =N
>
> die Feststellung [mm]N=N\,[/mm] ist genauso spannend wie [mm]0=0\,.[/mm]
>
>
> >
> > f(x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\in[/mm] N = f(x [mm]\in[/mm] A) [mm]\in[/mm] N [mm]\vee[/mm] f(x
> > [mm]\in[/mm] B ) [mm]\in[/mm] N und ich denke die beiden kann man einfach
> > zusammenfassen?
>
> Da steht nun einfach total skriptisch wirres Zeug. (Da
> steht halt wirklich
> einfach "nur mehr oder weniger sinnloses und
> unzusammenhängendes" Zeugs,
> das heißt aber nicht, dass Du Dir nicht vielleicht
> sinnvolles dabei gedacht
> hast.)
>
Das war mein Versuch den Ausdruck in die Aussagenlogik zurückzuführen und die rechte Seite äquivalent umzuformen sodass die linke Seite "rauskommt"
> Du hast zu zeigen, dass sowohl die linke Seite Teilmenge
> der rechten
> ist auch als umgekehrt. Ich zeige Dir nun, dass die linke
> Teilmenge
> der rechten ist, den Rest machst DU:
> Wir nehmen uns IRGENDEIN [mm]y \in f(A \cup B)[/mm] her: Nach
> Definition von
> [mm]f(A \cup B)[/mm] existiert dann (mindestens) ein [mm]x \in A \cup B[/mm]
> so, dass
> [mm]y=f(x)\,.[/mm] Für [mm]x \in A \cup B[/mm] gilt aber [mm]x \in A[/mm] oder [mm]x \in B[/mm]
> (NICHT
> "entweder oder", sondern "oder").
>
> Es gilt also nun
>
> 1. Fall: Ist [mm]x \in A\,,[/mm] so folgt [mm]f(x) \in f(A)\,,[/mm] also
> [mm]f(x)=y \in f(A)\,.[/mm] Klar ist,
> dass [mm]f(A) \subseteq f(A) \cup f(B)\,,[/mm] also folgt [mm]f(x)=y \in (f(A) \cup f(B))\,[/mm];
>
> oder
>
> 2. Fall: Ist [mm]x \in B\,,[/mm] so folgt ... (das führst bitte
> auch DU zu Ende!).
>
2. Fall: Ist x [mm] \in [/mm] B so folgt f(x) [mm] \in [/mm] f(B) also gilt [mm] f(x)=y\in [/mm] f(B) da f(B) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B) folgt ebensfalls f(x) = y [mm] \in (f(A)\cup [/mm] f(B))
Rechte Seite Teilemenge der Linken: Sei y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \vee [/mm] y [mm] \in [/mm] f(B)
dann ist auch x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B sodass y = f(x) = f(A [mm] \cup [/mm] B)
nähere ich mich damit der Lösung an?
>
> > b) [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] N : y [mm]\in[/mm] N' [mm]\wedge[/mm] N [mm]\not=[/mm] N'
> >
> > [mm]\forall[/mm] f(x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\in[/mm] N: y [mm]\in[/mm] N' ) [mm]\wedge[/mm]
> > f(x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\not=[/mm] f(x [mm]\in[/mm] A) [mm]\wedge (f(x\in[/mm]
> > B)) Bin ich auf den richtigen weg und fällt mir nur keine
> > Formel zur Vereinfachung ein oder lieg ich falsch?
>
> Da weiß ich auch nicht mehr, was Du nun machen willst -
> denk' mal drüber
> nach, ob Du wirklich Symbole verwenden willst, wenn Du
> nicht mehr selbst
> verstehst, was dann da steht - schreib's lieber erstmal in
> Worten. Das
> obige ist jedenfalls leider ziemlich sinnfrei, wenngleich
> ich mir an
> manchen Stellen denken kann, was Du meinen könntest.
>
> Zur Aufgabe b): Zu zeigen ist [mm]f(A \cap B) \subseteq (f(A) \cap f(B))\,.[/mm]
>
> Nehmen wir uns also IRGENDEIN [mm]y \in f(A \cap B)[/mm] her. Dann
> gibt es (mind.) ein
> [mm]x \in A \cap B[/mm] mit [mm]y=f(x)\,.[/mm] Es gilt also [mm]x \in A[/mm] und [mm]x \in B:[/mm]
>
> Was folgt dann für [mm]f(x)[/mm] sowohl bzgl. [mm]f(A)\,[/mm] als auch bzgl.
> [mm]f(B)\,[/mm]?
>
Wenn x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B gilt y [mm] \in [/mm] f(x [mm] \in [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] f(x [mm] \in [/mm] B)
daraus folgt: y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] f(B) und das ist ja die linke Seite.
> Bei der Aufgabe c) sollte wohl gefragt sein, wann [mm](f(A) \cap f(B)) \not\subseteq f(A \cap B)[/mm]
> gilt?
> Falls dem so ist, dann denke über Inkjektivität bzw.
> Nichtinjektivität nach.
>
> Was aber auch sein könnte, ist, dass in der Aufgabe c)
> gefragt ist,
> wann [mm]f(A\cap B)\subsetneqq (f(A)\cap f(B))[/mm] gilt:
> Hier würde ich auf jeden Fall Dich nochmal bitten, die
> Aufgabenstellung
> genau wiederzugeben.
>
> Denn so, wie Du es geschrieben hast: Diese Frage
> > (c) Wann gilt [mm]f(A\cap B)\not\subseteq (f(A)\cap f(B))[/mm]
> wäre wegen der Lösung zu b) trivial zu beantworten:
> niemals!
>
Du hast recht, ich habe das falsche Symbol erwischt. Es ist eigentlich gemeint echte Teilmenge also das Symbol [mm] \subseteq [/mm] negiert was denke ich [mm] \subset [/mm] ist.
Ich würde sagen das ist genau dann der Fall wenn eine der Mengen leer ist?
> Gruß,
> Marcel
Ich bedanke mich für deine Geduld und Mühe!
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 So 11.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für deine Antwort!
>
>
> > > a) N =N
> >
> > die Feststellung [mm]N=N\,[/mm] ist genauso spannend wie [mm]0=0\,.[/mm]
> >
> >
>
>
> > >
> > > f(x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\in[/mm] N = f(x [mm]\in[/mm] A) [mm]\in[/mm] N [mm]\vee[/mm] f(x
> > > [mm]\in[/mm] B ) [mm]\in[/mm] N und ich denke die beiden kann man einfach
> > > zusammenfassen?
> >
> > Da steht nun einfach total skriptisch wirres Zeug. (Da
> > steht halt wirklich
> > einfach "nur mehr oder weniger sinnloses und
> > unzusammenhängendes" Zeugs,
> > das heißt aber nicht, dass Du Dir nicht vielleicht
> > sinnvolles dabei gedacht
> > hast.)
> >
> Das war mein Versuch den Ausdruck in die Aussagenlogik
> zurückzuführen und die rechte Seite äquivalent
> umzuformen sodass die linke Seite "rauskommt"
sowas kann man auch machen, ich habe es extra erst nicht direkt gemacht:
$$f(A [mm] \cup B)=\{f(x): x \in A \vee x \in B\}=\{f(x): x \in A\} \cup \{f(x'): x' \in B\}=f(A) \cup f(B)\,.$$
[/mm]
Aber auch da ist die Frage: Was macht man, wenn einem eine Gleichheit
nicht direkt ersichtlich ist? Eben: Man zeigt wieder eine Mengengleichheit
[mm] $R=S\,,$ [/mm] indem man $R [mm] \subseteq [/mm] S$ und $S [mm] \subseteq [/mm] R$ zeigt!
> > Du hast zu zeigen, dass sowohl die linke Seite Teilmenge
> > der rechten
> > ist auch als umgekehrt. Ich zeige Dir nun, dass die
> linke
> > Teilmenge
> > der rechten ist, den Rest machst DU:
> > Wir nehmen uns IRGENDEIN [mm]y \in f(A \cup B)[/mm] her: Nach
> > Definition von
> > [mm]f(A \cup B)[/mm] existiert dann (mindestens) ein [mm]x \in A \cup B[/mm]
> > so, dass
> > [mm]y=f(x)\,.[/mm] Für [mm]x \in A \cup B[/mm] gilt aber [mm]x \in A[/mm] oder [mm]x \in B[/mm]
> > (NICHT
> > "entweder oder", sondern "oder").
> >
> > Es gilt also nun
> >
> > 1. Fall: Ist [mm]x \in A\,,[/mm] so folgt [mm]f(x) \in f(A)\,,[/mm] also
> > [mm]f(x)=y \in f(A)\,.[/mm] Klar ist,
> > dass [mm]f(A) \subseteq f(A) \cup f(B)\,,[/mm] also folgt [mm]f(x)=y \in (f(A) \cup f(B))\,[/mm];
>
> >
> > oder
> >
> > 2. Fall: Ist [mm]x \in B\,,[/mm] so folgt ... (das führst bitte
> > auch DU zu Ende!).
> >
>
> 2. Fall: Ist x [mm]\in[/mm] B so folgt f(x) [mm]\in[/mm] f(B) also gilt
> [mm]f(x)=y\in[/mm] f(B)
und
> da f(B) [mm]\subseteq[/mm] f(A) [mm]\cup[/mm] f(B) folgt
> ebensfalls f(x) = y [mm]\in (f(A)\cup[/mm] f(B))
>
> Rechte Seite Teilemenge der Linken: Sei y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\vee[/mm] y
> [mm]\in[/mm] f(B)
> dann ist auch x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B sodass y = f(x) = f(A
> [mm]\cup[/mm] B)
>
> nähere ich mich damit der Lösung an?
Nein, denn Du hast da einen Fehler:
Ist $y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)$ so gibt es
EINERSEITS ein $x [mm] \in [/mm] A$ so, dass $f(x)=y$
und
ANDERERSEITS ein $x' [mm] \in [/mm] B$ so, dass [mm] $f(x)=y\,.$
[/mm]
Wir beschränken uns nun drauf, [mm] $y=f(x)\,$ [/mm] mit dem $x [mm] \in [/mm] A$ zu betrachten:
Denn wegen $A [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ gilt dann auch $y=f(x) [mm] \in [/mm] ...$?
(Tipp: Schau' Dir die Definition von $f(A [mm] \cup [/mm] B)$ an!)
> >
> > > b) [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] N : y [mm]\in[/mm] N' [mm]\wedge[/mm] N [mm]\not=[/mm] N'
> > >
> > > [mm]\forall[/mm] f(x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\in[/mm] N: y [mm]\in[/mm] N' ) [mm]\wedge[/mm]
> > > f(x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\not=[/mm] f(x [mm]\in[/mm] A) [mm]\wedge (f(x\in[/mm]
> > > B)) Bin ich auf den richtigen weg und fällt mir nur keine
> > > Formel zur Vereinfachung ein oder lieg ich falsch?
> >
> > Da weiß ich auch nicht mehr, was Du nun machen willst -
> > denk' mal drüber
> > nach, ob Du wirklich Symbole verwenden willst, wenn Du
> > nicht mehr selbst
> > verstehst, was dann da steht - schreib's lieber erstmal
> in
> > Worten. Das
> > obige ist jedenfalls leider ziemlich sinnfrei, wenngleich
> > ich mir an
> > manchen Stellen denken kann, was Du meinen könntest.
> >
> > Zur Aufgabe b): Zu zeigen ist [mm]f(A \cap B) \subseteq (f(A) \cap f(B))\,.[/mm]
>
> >
> > Nehmen wir uns also IRGENDEIN [mm]y \in f(A \cap B)[/mm] her. Dann
> > gibt es (mind.) ein
> > [mm]x \in A \cap B[/mm] mit [mm]y=f(x)\,.[/mm] Es gilt also [mm]x \in A[/mm] und [mm]x \in B:[/mm]
>
> >
> > Was folgt dann für [mm]f(x)[/mm] sowohl bzgl. [mm]f(A)\,[/mm] als auch bzgl.
> > [mm]f(B)\,[/mm]?
> >
> Wenn x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B gilt y [mm]\in[/mm] f(x [mm]\in[/mm] A)
Was ist denn das für eine komische Notation: $y [mm] \in [/mm] f(x [mm] \in [/mm] A)$?
Was Du meinst: [mm] $y=f(x)\,$ [/mm] mit einem $x [mm] \in [/mm] A$ liefert dann $f(x) [mm] \in f(A)\,.$
[/mm]
Was Du alternativ schreiben könntest, wäre: $x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow \{x\} \subseteq [/mm] A [mm] \Rightarrow \{y\}=f(\{x\})=\{f(x)\} \subseteq [/mm] f(A)$ bzw. $f(x) [mm] \in f(A)\,.$
[/mm]
> [mm]\wedge[/mm] y
> [mm]\in[/mm] f(x [mm]\in[/mm] B)
>
> daraus folgt: y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\wedge[/mm] y [mm]\in[/mm] f(B) und das ist ja
> die linke Seite.
Wie gesagt: Du meinst es richtig, schreibst es aber komisch auf:
$$x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$$
liefert
1.) Wegen $x [mm] \in [/mm] A$ dann $y=f(x) [mm] \in f(A)\,.$
[/mm]
und
2.) Wegen $x [mm] \in [/mm] B$ dann $y=f(x) [mm] \in f(B)\,.$
[/mm]
> > Bei der Aufgabe c) sollte wohl gefragt sein, wann [mm](f(A) \cap f(B)) \not\subseteq f(A \cap B)[/mm]
> > gilt?
> > Falls dem so ist, dann denke über Inkjektivität bzw.
> > Nichtinjektivität nach.
> >
> > Was aber auch sein könnte, ist, dass in der Aufgabe c)
> > gefragt ist,
> > wann [mm]f(A\cap B)\subsetneqq (f(A)\cap f(B))[/mm] gilt:
> > Hier würde ich auf jeden Fall Dich nochmal bitten, die
> > Aufgabenstellung
> > genau wiederzugeben.
> >
> > Denn so, wie Du es geschrieben hast: Diese Frage
> > > (c) Wann gilt [mm]f(A\cap B)\not\subseteq (f(A)\cap f(B))[/mm]
> > wäre wegen der Lösung zu b) trivial zu beantworten:
> > niemals!
> >
>
> Du hast recht, ich habe das falsche Symbol erwischt. Es ist
> eigentlich gemeint echte Teilmenge also das Symbol
> [mm]\subseteq[/mm] negiert was denke ich [mm]\subset[/mm] ist.
Das ist definitionssache: Viele Autoren benutzen auch [mm] $\subset$ [/mm] im Sinne
von [mm] $\subseteq$ [/mm] und schreiben auch [mm] $\subsetneq$ [/mm] für echte Teilmenge!
> Ich würde sagen das ist genau dann der Fall wenn eine der
> Mengen leer ist?
Da habe ich nun gar nicht drüber nachgedacht: Aber wenn Du eh schon
selbst so eine Behauptung aufstellst, dann versuche doch, sie auch zu
beweisen.
Du kannst es ja auch so angehen, und Dir erstmal überlegst, was das
bedeutet:
Sei $f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subsetneqq [/mm] (f(A) [mm] \cap f(B))\,.$ [/mm] Dann gibt es ein
$y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$ so, dass $y [mm] \notin [/mm] f(A [mm] \cap B)\,.$
[/mm]
Dann gibt es also ein $x [mm] \in [/mm] A$ und ein $x' [mm] \in B\,,$ [/mm] so, dass
[mm] $y=f(x)=f(x')\,,$ [/mm] und es kann weder $x [mm] \in B\,$ [/mm] noch $x' [mm] \in [/mm] A$ sein...
Für mich erinnert sowas an das Stichwort "Disjunktheit". Also ich würde
an Deiner Stelle nochmal über die Aufgabe nachdenken. (Das sage ich
jetzt schon ohne, dass ich mir selbst eine Komplettlösung der Aufgabe
hergeleitet habe!)
Gruß.
Marcel
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