Äquivalenz von Beträgen < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zu zeigen das für reelle Zahlen |x|+|y|<5 äquivalent zur Aussage (|x+y|<5 [mm] \wedge [/mm] |x-y| <5) |
Hallo!
Als Tipp ist angegeben die Dreiecksungleichung |a+b| <= |a| + |b| zu verwenden.
Meine bisherigen Gedankengänge:
Äquivalenz zeige ich ja indem ich die eine Richtung "==>" und die andere Richtung"<==" beweise. Bei Beweisen mit Ungleichungen kriegt man ab und zu etwas in der Art x <= y und y<=x und kann dann Folgern x=y.
Aber der genaue Ansatz bei dem BSP fehlt mir: ich kann per Dreiecksungleichung zwar zeigen das (|x+y|<5 [mm] \wedge [/mm] |x-y| <5) <= |x|+|y| <5 giltet (da jedes für sich kleiner gleich |x|+|y| ist) und hätte damit eine Richtung gezeigt, die andere Richtung schaff ich aber nicht.
Alternative Überlegung: Alle Fälle (x positiv, negativ, y positiv, negativ) einzeln überprüfen, aber das kann nicht Sinn dieses Bsps sein.
Besten Dank!
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> Zu zeigen das für reelle Zahlen |x|+|y|<5 äquivalent zur
> Aussage (|x+y|<5 [mm]\wedge[/mm] |x-y| <5)
> Hallo!
> Als Tipp ist angegeben die Dreiecksungleichung |a+b| <= |a|
> + |b| zu verwenden.
> Meine bisherigen Gedankengänge:
> Äquivalenz zeige ich ja indem ich die eine Richtung "==>"
> und die andere Richtung"<==" beweise. Bei Beweisen mit
> Ungleichungen kriegt man ab und zu etwas in der Art x <= y
> und y<=x und kann dann Folgern x=y.
> Aber der genaue Ansatz bei dem BSP fehlt mir: ich kann per
> Dreiecksungleichung zwar zeigen das (|x+y|<5 [mm]\wedge[/mm] |x-y|
> <5) <= |x|+|y| <5 giltet (da jedes für sich kleiner gleich
> |x|+|y| ist) und hätte damit eine Richtung gezeigt, die
> andere Richtung schaff ich aber nicht.
>
> Alternative Überlegung: Alle Fälle (x positiv, negativ, y
> positiv, negativ) einzeln überprüfen, aber das kann nicht
> Sinn dieses Bsps sein.
>
> Besten Dank!
Hallo [mm] \varepsilon>0 [/mm] !
Nur ein kleiner Tipp:
verwende für einen Teil des Beweises die Substitutionen
u:=x+y und v:=x-y oder (vielleicht noch eine Spur
geschickter):
$\ u:=\ [mm] \frac{x+y}{2}\qquad ,\qquad [/mm] v:=\ [mm] \frac{x-y}{2}$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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Muss leider zugeben, dass mir der Tipp nicht wirklich weiter hilft.
Hätte jetzt gemutmaßt, dass ich zeigen soll, dass |x+y|+|x-y| <= |x| + |y| gilt und mir da der Tipp hilft.
Wenn ich substituieren versuche erhalte ich:
|2u| + |2v| auf der linken Seite; für die rechte Seite allerdings erhalte ich ja mehrere Möglichkeiten, je nachdem ob ich u mit x oder y ausdrücke.
Stimmt meine Beweisidee das ich beide Richtungen zeige und auf Äquivalenz schließe oder geh ich gleich über |x+y| + |x-y| = |x| + |y| und versuche auf eine wahre Aussage zu kommen?
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> Muss leider zugeben, dass mir der Tipp nicht wirklich
> weiter hilft.
> Hätte jetzt gemutmaßt, dass ich zeigen soll, dass
> |x+y|+|x-y| <= |x| + |y| gilt und mir da der Tipp hilft.
> Wenn ich substituieren versuche erhalte ich:
> |2u| + |2v| auf der linken Seite; für die rechte Seite
> allerdings erhalte ich ja mehrere Möglichkeiten, je
> nachdem ob ich u mit x oder y ausdrücke.
>
> Stimmt meine Beweisidee das ich beide Richtungen zeige und
> auf Äquivalenz schließe oder geh ich gleich über |x+y| +
> |x-y| = |x| + |y| und versuche auf eine wahre Aussage zu
> kommen?
Hallo,
wenn ich dich richtig verstanden habe, hast du von der
zu beweisenden Äquivalenz
$\ [mm] |x|+|y|<5\quad\gdw\quad [/mm] |x+y|<5\ [mm] \wedge\ [/mm] |x-y|<5$
die Richtung von links nach rechts schon gezeigt, also:
$\ [mm] |x|+|y|<5\quad\Rightarrow \quad [/mm] |x+y|<5\ [mm] \wedge\ [/mm] |x-y|<5$
Bleibt also noch zu zeigen, dass:
$\ [mm] |x|+|y|<5\quad\Leftarrow \quad [/mm] |x+y|<5\ [mm] \wedge\ [/mm] |x-y|<5$
bzw.
$\ |x+y|<5\ [mm] \wedge\ [/mm] |x-y|<5 [mm] \quad\Rightarrow \quad [/mm] |x|+|y|<5 $
Mit meinen vorgeschlagenen Substitutionen
$ \ u:=\ [mm] \frac{x+y}{2}\qquad ,\qquad [/mm] v:=\ [mm] \frac{x-y}{2} [/mm] $
bedeutet dies:
$\ |2*u|<5\ [mm] \wedge\ [/mm] |2*v|<5 [mm] \quad\Rightarrow \quad [/mm] |x|+|y|<5 $
(dies ist noch nicht bewiesen, sondern noch zu zeigen !!)
Vereinfache nun mal die linke Seite noch ein wenig und
ersetze auf der rechten Seite x und y durch die richtigen
Ausdrücke in u und v. Mittels eines Zwischenschritts, der
sich dann fast aufdrängt, kannst du den Beweis dann auf
den schon bewiesenen ersten Teil des Beweises zurück-
führen, nur mit vertauschten Bezeichnungen.
LG , Al-Chw.
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Ich sehe es nicht. :/
$ \ [mm] |2\cdot{}u|<5\ \wedge\ |2\cdot{}v|<5 \quad\Rightarrow \quad [/mm] |x|+|y|<5 $
Wenn ich die linke Seite vereinfache (d.h. quadriere), und substituiere.
Hab ich: [mm] 4u^2 [/mm] <25 [mm] \wedge 4v^2 [/mm] < 25 [mm] \Rightarrow [/mm] |u+v| und |u-v|
Jetzt sollte ja der Zwischenschritt kommen, aber mir fällt nichts sinnvolles ein.
Das logische Und stört irgendwie.
Du schreibst die "Verbindung" der beiden Gleichungen mit den Implikationspfeilen also gehe ich davon aus, dass der Beweis so aussieht: Annahme links giltet und wir zeigen rechts, und Annahme rechts giltet und wir zeigen links? Also nicht wie von mir anfangs vermutet mit 2 mal größer gleich wird zu =?
Wenn ja dann fehlt mir aber auch noch die Hinrichtung.
Aber danke schon mal für deine Hilfe/Geduld.
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> Ich sehe es nicht. :/
> [mm]\ |2\cdot{}u|<5\ \wedge\ |2\cdot{}v|<5 \quad\Rightarrow \quad |x|+|y|<5[/mm]
>
> Wenn ich die linke Seite vereinfache (d.h. quadriere), und
> substituiere.
> Hab ich: [mm]4u^2[/mm] <25 [mm]\wedge 4v^2[/mm] < 25 [mm]\Rightarrow[/mm] |u+v| und
> |u-v|
> Jetzt sollte ja der Zwischenschritt kommen, aber mir fällt
> nichts sinnvolles ein.
> Das logische Und stört irgendwie.
> Du schreibst die "Verbindung" der beiden Gleichungen
> mit den Implikationspfeilen also gehe ich davon aus,
> dass der Beweis so aussieht: Annahme links giltet
> und wir zeigen rechts, und Annahme rechts giltet
Nebenbemerkung: ![[]](/images/popup.gif) "gelten"
> und wir zeigen links? Also nicht wie von mir anfangs
> vermutet mit 2 mal größer gleich wird zu =?
> Wenn ja dann fehlt mir aber auch noch die Hinrichtung.
Ach nein, wer denkt denn da gleich an eine Hinrichtung ?
Ich habe jetzt gemerkt, dass ich auf die Art, wie ich
es mir dachte, doch auch nicht so einfach einen
Beweis zusammenbringe.
Dafür kann ich aber mit einer anderen Idee dienen,
und die funktioniert jedenfalls. Sie besteht einfach darin,
sich die Lösungsmengen [mm] L_{links} [/mm] und [mm] L_{rechts} [/mm] für die beiden
Ungleichungen links und rechts in der behaupteten
Äquivalenz graphisch in der x-y-Ebene vorzustellen.
Dabei lohnt es sich, alles ohne Absolutstriche zu
schreiben, also etwa anstatt |x+y|<5 schreiben
wir -5< x+y < +5 .
Die linke Seite kann man in 4 Teilfälle aufdröseln,
je nachdem in welchem Quadranten der x-y-Ebene
der Punkt (x|y) liegt.
So kommt man zu einem recht anschaulichen Beweis.
LG , Al-Chw.
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Das war Dialekt :P
Müsste doch auch analytisch machbar sein, oder nicht?
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> Müsste doch auch analytisch machbar sein, oder nicht?
Schon - aber eigentlich bin ich ziemlich stark gegen
den Trend, geometrische Überlegungen irgendwie
als "minderwertig" einzustufen. Das sind sie nämlich
überhaupt nicht, wenn man sie so sorgfältig durch-
führt wie algebraische oder sogenannt "analytische"
Rechnungen.
Ich bin mir übrigens ziemlich sicher, dass meine
zuerst geäußerte Idee mit der Substitution eine
Brücke zwischen der geometrischen und einer mehr
algebraischen Lösung bilden kann. Meine Idee zu
dieser Substitution hatte nämlich auch schon eine
geometrische Wurzel - nur habe ich beim Aufbau
des Gerüsts für die Brücke offenbar noch einen
gewissen Fehler gemacht ...
LG , Al-Chw.
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In der Übungsangabe war eben die Rede davon, dass man die Dreiecksungleichung verwenden sollte.
Daher die Frage nach einer algebraischen/analytischen Lösung.
Grafisch muss ich ja nur die eingeschlossene Fläche von 4 Geraden bzw. deren Schnittpunkte vergleichen.
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> Grafisch muss ich ja nur die eingeschlossene Fläche von 4
> Geraden bzw. deren Schnittpunkte vergleichen.
Etwas genauer gesagt: Im einen Fall hat man ein Quadrat,
welches man aus 4 Teildreiecken (je eines in jedem
Quadranten) zusammensetzen kann. Im anderen Fall
hat man das Schnittgebiet von 2 Streifen, von denen
sich jeder zunächst in die Unendlichkeit erstreckt.
Es zeigt sich dann, dass das Überlappungs- oder Schnitt-
Gebiet exakt mit dem Quadrat nach der ersten Überlegung
deckt. Mit diesem (klar kommentierten) Nachweis hat
man dann den Beweis für die Behauptung.
LG , Al-Chw.
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Nach langem überlegen bin ich auf eine Möglichkeit gekommen und wollte sie gerne überprüfen lassen:
Annahme für meinen Beweis (Beweis hängt davon ab und man so argumentieren kann): Ich will Äquivalenz zeigen also das gilt: |a|+|b| = |a+b| + |a-b|
So:
|a|+|b| = |2a/2| + |2b/2| = |(a+b+a-b)/2| + |(a+b+b-a)/2| <= (|(a+b)/2|+ |(a-b)/2|) + (|(a+b)/2|+|(b-a)/2| = 2*|(a+b)/2| + 2*|(a-b)/2| = |a+b| + |a-b|
Das wäre also die eine Richtung und die andere Richtung (sehr unsicher):
|x|+|y| >= |x+y|
und |x|+|y| >= |x-y| daraus schließe ich: |x|+|y| >= |x+y| +|x-y|
Daraus folgere ich: Einzige Möglichkeit das die Aussagen stimmen ist Gleichheit.
Alternativ für die Umformung:
|a+b|+|a-b| >= |a+b+a-b| = 2|a|
|a+b|+|a-b| = |a+b|+|b-a| >= |a+b+b-a| = 2|b|
Und dann addieren => selbes Ergebnis.
Passt das so? Bin mir unsicher ob man das logische Und so verwenden darf.
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Hiho,
> Ich will Äquivalenz zeigen
Was ist denn Äquivalenz?
Äquivalenz ist die logische Gleichheit zweier Aussagen!
>also das gilt: |a|+|b| = |a+b| + |a-b|
Was du hier hinschreibst ist eine Aussage, da ist nix äquivalent.
Dir scheint der Unterschied zwischen "Äquivalenz zweier Aussagen" und "Gleichheit von Termen" nicht klar zu sein.
> So:
> |a|+|b| = |2a/2| + |2b/2| = |(a+b+a-b)/2| + |(a+b+b-a)/2|
> <= (|(a+b)/2|+ |(a-b)/2|) + (|(a+b)/2|+|(b-a)/2| =
> 2*|(a+b)/2| + 2*|(a-b)/2| = |a+b| + |a-b|
Dann: Nutze doch bitte den Formeleditor. Das so zu lesen ist eine Qual und verschiebt die (eigentlich deine) Arbeit auf den Antwortenden, das ordentlich aufzuschreiben.
Und halten wir fest, was du gezeigt hast.
$|a| + |b| [mm] \le [/mm] |a+b| + |a-b|$
> Das wäre also die eine Richtung und die andere Richtung
> |x|+|y| >= |x+y|
Ok.
> und |x|+|y| >= |x-y|
Ok.
> daraus schließe ich: |x|+|y| >= |x+y| +|x-y|
Falsch!
Das kannst du auch ganz leicht dir selbst überlegen.
Es gilt: $5 [mm] \ge [/mm] 3$ und $5 [mm] \ge [/mm] 4$ und du schlussfolgerst daraus $5 [mm] \ge [/mm] 3+4$ was offensichtlich falsch ist.
Korrekt wäre hingegen: [mm] $2\left(|x| + |y|\right) \ge [/mm] |x+y| + |x-y|
Und schon kannst du nix folgern.
Wie schon gesagt: Du solltest dir mal dringend klar machen, dass du gar nicht die Gleichheit zweier Terme zeigen sollst, sondern die Äquivalenz zweier Aussagen, das ist etwas grundverschiedenes (auch wenn die Idee bei beiden Dingen gleich zu sein scheint).
Du musst also nichts zeigen mit $a [mm] \le [/mm] b$ und [mm] $b\le [/mm] a$. Dass in deinen Aussagen [mm] \le [/mm] bzw < vorkommt ist nur "zufällig" gleich.
Das macht man bei der Gleichheit zweier Terme, da hast du recht.
Eine (analoge) Möglichkeit gibt es auch für logische Aussagen, nämlich:
Du musst zeigen: A [mm] \Rightarrow [/mm] B und $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$, daraus folgt $A [mm] \gdw [/mm] B$
Bei dir ist eben A die Aussage "$|x|+|y| < 5$" und B die Aussage "$|x+y|<5, |x-y|<5$"
Den Fall $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ hast du ja bereits zeigen können (und deine Vorgehensweise war auch richtig).
Erstmal: Konnten deine Mißverständnisse jetzt erstmal geklärt werden und hast du das verstanden?
Gruß,
Gono.
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Nicht ganz. :/
Wieso zeigt meine Vorgehensweise A [mm] \Rightarrow [/mm] B trotz einem [mm] \le [/mm] ? Ist das keine Abschätzung in die falsche Richtung?
Die [mm] \le [/mm] und [mm] \ge [/mm] verwirren mich etwas.
Und wie würde ich B [mm] \Rightarrow [/mm] A zeigen? Kann ich meinen "Beweis" einfach umdrehen?
Vielen Dank für deine Hilfe!
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Hab es jetzt mit Hilfe von paar Studienkollegen geschafft.
War eigentlich leichter als erwartet.
Vielen Dank an alle die mir geholfen haben!
[mm] \Rightarrow [/mm] geht mit Dreiecksungleichung
[mm] \Leftarrow [/mm] geht per sgn(x)=sgn(y) bzw. [mm] sgn(x)\ne [/mm] sgn(y) als Fälle unterscheiden.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 Do 10.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
auch, wenn das nicht ganz zu Deinen Fragen passt: Eine analytische Lösung,
die ohne Dreiecksungleichung auskommt (und quasi nur benutzt, dass die
Funktion [mm] $[0,\infty) \ni [/mm] x [mm] \mapsto x^2 \in [0,\infty)$ [/mm] streng wachsend ist), findest Du
hier (klick!).
Bzgl. des Problems "Aussagen" oder "Wie funktioniert eigentlich ein
mathematischer Beweis" hatte ich
hier (klick!)
mal was geschrieben!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Do 10.10.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Mi 09.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Al,
> > Müsste doch auch analytisch machbar sein, oder nicht?
>
> Schon - aber eigentlich bin ich ziemlich stark gegen
> den Trend, geometrische Überlegungen irgendwie
> als "minderwertig" einzustufen. Das sind sie nämlich
> überhaupt nicht, wenn man sie so sorgfältig durch-
> führt wie algebraische oder sogenannt "analytische"
> Rechnungen.
gerade bei Funktionen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] kann man viele Überlegungen geometrisch
anhand der Graphen machen - ich habe das eben auch in meinem P.S. hier
(klick!) angedeutet.
Das Schöne ist eigentlich ein Zusammenspiel: So kann man etwa auch die
Menge aller Paare $(x,y) [mm] \in \IR^2,$ [/mm] die
$|y| [mm] \; [/mm] < [mm] \; [/mm] 5-|x|$
erfüllen, mithilfe des Graphen von
$f(x)=5-|x|$
beschreiben - und letzteren kann man sich wunderbar aus Stücken der
Graphen von
$g(x)=5+x$ (nämlich für $x [mm] \le [/mm] 0$)
und
$h(x)=5-x$ (nämlich für $x [mm] \ge [/mm] 0$)
"zusammenkleben". (Natürlich kann man auch mit [mm] $f(x)=(5-|x|)^2,$ $g(x)=(5+x)^2$ [/mm] und
[mm] $h(x)=(5-x)^2$ [/mm] analog arbeiten...)
(Beachtenswert ist halt, dass wegen $|y| [mm] \ge [/mm] 0$ dann auch stets $5-|x| > |y| [mm] \;\ge\; [/mm] 0,$ also
[mm] $5-|x|\;>\;0,$ [/mm] gelten muss!)
Gruß,
Marcel
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> Zu zeigen das für reelle Zahlen |x|+|y|<5 äquivalent zur
> Aussage (|x+y|<5 [mm]\wedge[/mm] |x-y| <5)
> Als Tipp ist angegeben die Dreiecksungleichung |a+b| <= |a|
> + |b| zu verwenden.
> Alternative Überlegung: Alle Fälle (x positiv, negativ, y
> positiv, negativ) einzeln überprüfen, aber das kann nicht
> Sinn dieses Bsps sein.
Vielleicht wäre dies aber doch die bessere Spur gewesen !
Es genügt sogar, zwei Fälle zu unterscheiden, nämlich:
1.) x und y haben gleiches Vorzeichen
In diesem Fall gilt $\ |x|+|y|\ =\ |x+y|$
2.) x und y haben entgegengesetzte Vorzeichen
In diesem Fall gilt $\ |x|+|y|\ =\ |x-y|$
Den Rest muss ich wohl nicht mal mehr erläutern ...
Schönen Abend !
Al-Chw.
Kleine Ergänzung für alle, die auf Details Wert legen:
Für die obige Unterscheidung in (genau) zwei
Fälle wäre folgende Einteilung angemessen:
1.) $\ x*y\ [mm] \ge\ [/mm] 0$
2.) $\ x*y\ <\ 0$
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:43 Mi 09.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zu zeigen das für reelle Zahlen |x|+|y|<5 äquivalent zur
> Aussage (|x+y|<5 [mm]\wedge[/mm] |x-y| <5)
> Hallo!
> Als Tipp ist angegeben die Dreiecksungleichung |a+b| <= |a|
> + |b| zu verwenden.
> Meine bisherigen Gedankengänge:
> Äquivalenz zeige ich ja indem ich die eine Richtung "==>"
> und die andere Richtung"<==" beweise. Bei Beweisen mit
> Ungleichungen kriegt man ab und zu etwas in der Art x <= y
> und y<=x und kann dann Folgern x=y.
> Aber der genaue Ansatz bei dem BSP fehlt mir: ich kann per
> Dreiecksungleichung zwar zeigen das (|x+y|<5 [mm]\wedge[/mm] |x-y|
> <5) <= |x|+|y| <5 giltet (da jedes für sich kleiner gleich
> |x|+|y| ist) und hätte damit eine Richtung gezeigt,
Nein, das hast Du nicht ! Was soll "da jedes für sich kleiner gleich
|x|+|y| ist" genau bedeuten ??
Mein Vorschlag:
Sei |x|+|y|<5. Nimm an, es wäre |x+y| [mm] \ge [/mm] 5 oder |x-y| [mm] \ge [/mm] 5.
Mit der Dreiecksungl. kommt man in beiden Fällen auf den Widerspruch
|x|+|y| [mm] \ge [/mm] 5.
> die
> andere Richtung schaff ich aber nicht.
>
> Alternative Überlegung: Alle Fälle (x positiv, negativ, y
> positiv, negativ) einzeln überprüfen, aber das kann nicht
> Sinn dieses Bsps sein.
Aus |x+y|<5 und |x-y|<5 folgt
(1) [mm] x^2+2xy+y^2< [/mm] 25
und
(2) [mm] x^2-2xy+y^2< [/mm] 25
(warum ?)
Mach Dir klar, dass die Ungl. |x|+|y<<5 gleichbedeutend mit der Ungl.
(3) [mm] $x^2+2|x|*|y|+y^2 [/mm] <25$
ist.
(3) folgt aber ganz einfach aus (1) und (2). Wie ?
FRED
>
> Besten Dank!
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Mi 09.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zu zeigen das für reelle Zahlen |x|+|y|<5 äquivalent zur
> Aussage (|x+y|<5 [mm]\wedge[/mm] |x-y| <5)
die Aufgabe kann man eigentlich sehr schnell lösen (ohne Dreiecksungleichung!):
Für $a,b [mm] \ge [/mm] 0$ gilt doch
$a [mm] \;<\; [/mm] b$ [mm] $\iff$ $a^2 \;<\; b^2\,.$
[/mm]
(Beachte dabei, dass $a,b [mm] \ge [/mm] 0$ nach Voraussetzung gilt!!)
Also ist [mm] $|x|+|y|\;<\;5$ [/mm] gleichwertig mit
[mm] $(|x|+|y|)^2 [/mm] < 25$ [mm] $\iff$ $x^2+y^2+2|xy| \;< \;25$ [/mm]
[mm] $\iff$ $(\star)$ $2|xy|\;<\;25-x^2-y^2.$
[/mm]
Die Bedingung $|x+y| [mm] \;<\; [/mm] 5$ bedeutet demnach (blaumarkierter Teil!), unter
Beachtung von [mm] $|r|^2=r^2$ [/mm] (für alle $r [mm] \in \IR$)
[/mm]
[mm] $x^2+2xy+y^2 \;<\;25$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] (i) $2xy [mm] \;\le\; 25-x^2-y^2$
[/mm]
und die Bedingung $|x-y| [mm] \;<\; [/mm] 5$ bedeutet demnach
(ii) [mm] $-\,2xy\;<\;25-x^2-y^2.$
[/mm]
Und für $r [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $\epsilon \;\red{>}\; [/mm] 0$ kann man sich halt leicht klarmachen,
dass
$|r| [mm] \; [/mm] < [mm] \; \epsilon$ $\iff$ $-\epsilon \;<\; [/mm] r [mm] \;<\; \epsilon.$
[/mm]
(i) und (ii) zusammen bedeuten daher nichts anderes als
$2|xy|=|2xy| [mm] \;<\;25-x^2-y^2\,.$
[/mm]
Das ist aber gerade [mm] $(\star)\,.$ [/mm] (P.S. Beachte bei [mm] $(\star)$ [/mm] auch: Diese Ungleichung
hat kein Lösungspaar [mm] $(x,y)\in\IR^2,$ [/mm] falls [mm] $\underbrace{25-x^2-y^2}_{\hat{=}\epsilon} \;\le\; [/mm] 0$!)
P.S. Hilfreich ist es auch, sich mal die Mengen
[mm] $\{(x,y) \in \IR^2: |y|\;<\;5-|x|\},$
[/mm]
[mm] $\{(x,y) \in \IR^2: |x+y|\;<\;5\},$
[/mm]
[mm] $\{(x,y) \in \IR^2: |x-y|\;<\;5\},$
[/mm]
zu veranschaulichen - dazu hilft es vielleicht auch, erstmal aus dem [mm] $<\;5$ [/mm] ein
[mm] $=\;5$ [/mm] zu machen...
Gruß,
Marcel
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> die Aufgabe kann man eigentlich sehr schnell lösen (ohne
> Dreiecksungleichung!) ........
Hallo Marcel,
"sehr schnell" : es folgen dann aber trotzdem so gegen
20 Zeilen, die man nicht unbedingt so locker aus dem
Ärmel schütteln kann ...
Schönen Abend wünscht dir Al 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:28 Do 10.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > die Aufgabe kann man eigentlich sehr schnell lösen (ohne
> > Dreiecksungleichung!) ........
>
>
>
> Hallo Marcel,
>
> "sehr schnell" : es folgen dann aber trotzdem so gegen
> 20 Zeilen, die man nicht unbedingt so locker aus dem
> Ärmel schütteln kann ...
okay, dann halt "für geübte" sehr schnell. Ich könnte es auch auf drei
Zeilen komprimieren, denn da stehen halt auch Zusatzinformationen
drin, die man als bekannt annehmen kann.
Streng genommen ist nämlich die eigentliche "Beweisidee" in der Tat nur
der blaumarkierte Teil und dann die sich daraus ergebenden zwei
Umformungen:
$|x+y| < 5$ [mm] $\iff$ $x^2+2xy+y^2 [/mm] < 25,$
$|x-y| < 5$ [mm] $\iff$ $x^2-2xy+y^2 [/mm] < 25.$
(Mehr hatte ich bei diesem Lösungsweg nicht zu überlegen brauchen! Okay,
meinetwegen auch noch $|x|+|y| < 5$ [mm] $\iff$ $x^2+2|xy|+y^2 [/mm] < 25.$)
Aber ich glaube halt, dass das für jemanden, der in solchen Aufgaben
ungeübt ist, dann doch "mit zu wenig Erklärungen versehen wäre".
Gruß,
Marcel
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![[]](http://www.preussenchronik.de/bilder/583_Die_Hinrichtung_des_Karl_Ludwig_Sand.jpeg){kind=small}
Hinrichtung
