Äquivalenz von Aussagen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Do 22.10.2009 | | Autor: | St4ud3 |
| Aufgabe | Es seien A und B Mengen. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
a) A [mm] \subseteq [/mm] B
b) A [mm] \cap [/mm] B = A
c) A [mm] \cup [/mm] B = B
d) A \ N = [mm] \emptyset [/mm] |
Hi,
die Aufgabe an sich ist mir klar und ich verstehe auch die verschiedenen Aussagen. Aber wie kann ich denn formal beweisen, dass diese Aussagen äquivalent sind?
Gruß
*Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien A und B Mengen. Zeigen Sie, dass die folgenden
> Aussagen äquivalent sind.
> a) A [mm]\subseteq[/mm] B
> b) A [mm]\cap[/mm] B = A
> c) A [mm]\cup[/mm] B = B
> d) A \ N = [mm]\emptyset[/mm]
> Hi,
>
> die Aufgabe an sich ist mir klar und ich verstehe auch die
> verschiedenen Aussagen. Aber wie kann ich denn formal
> beweisen, dass diese Aussagen äquivalent sind?
Hallo,
falls Deine Frage mehr dem Groben gilt:
z.B., indem Du a) ==> b) ==> c) ==> d) ==> a) zeigst (oder Vergleichbares.)
Aber auch a) <==> b) <==> c) <==> d) ginge, oder[ a) <==> b) und a) <==> c) und a) <==> d) ]
Ich denke aber fast, daß Du eher mehr im detail wissen möchtest, was zu tun ist.
Ich zeige Dir mal, wie man a) ==> b) beweisen kann:
Behauptung: A [mm]\subseteq[/mm] B ==> A [mm]\cap[/mm] B = A.
Voraussetzung: A [mm]\subseteq[/mm] B
Zu zeigen: dann ist A [mm]\cap[/mm] B = A,
dh.
i) A [mm]\cap[/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A
ii) [mm] A\subseteq [/mm] A [mm]\cap[/mm] B
dh.
i') [mm] x\in [/mm] A [mm]\cap[/mm] B ==> [mm] x\in [/mm] A
ii') [mm] x\in [/mm] A ==> [mm] x\in [/mm] A [mm]\cap[/mm] B
Beweis:
i') Sei [mm] x\in [/mm] A [mm]\cap[/mm] B
==> [mm] x\in [/mm] A und [mm] x\in [/mm] B (Def. des Schnittes)
==> ???
ii') Sei [mm] x\in [/mm] A.
Da [mm] A\subseteq [/mm] B, ist x auch in ...
Also ist [mm] x\in [/mm] ... und [mm] x\in [/mm] ...
==> [mm] x\in [/mm] ...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Do 22.10.2009 | | Autor: | St4ud3 |
Vielen Dank :)
Ich denke ich muss das ganze noch etwas anders aufschreiben, aber ansonsten hat mir das ganze geholfen die Beweisführung bei Mengen zu verstehen.
Wir haben in der Schule leider nie Mengenlehre gehabt, von daher tu ich mich damit noch etwas schwer :/
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Sa 24.10.2009 | | Autor: | malleYay |
Hallo zusammen,
ich habe auch eine Frage zu dieser Art Aufgabe, bzw. ich bitte euch meinen Lösungsvorschlag zu kommentieren.
Also im groben bin ich davon ausgegangen, das wenn a) gilt daraus b) folgt und daraus dann c), daraus dann d) und da wiederum a) folgt.
(a [mm] \Rightarrow [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] c [mm] \Rightarrow [/mm] d [mm] \Rightarrow [/mm] a)
Sei [mm] M\subseteq [/mm] N , d.h: wenn [mm] x\in [/mm] M, dann ist auch [mm] x\in [/mm] N
[mm] \Rightarrow M\cap [/mm] N=M ist wahr, da [mm] M\cap N=x\in [/mm] M [mm] \wedge x\in [/mm] N = [mm] x\in [/mm] N [mm] \wedge x\in [/mm] N = [mm] x\in [/mm] N = [mm] x\in [/mm] M
Das ist mein erster Schritt, ich bin mir nicht sicher ob ich so einfach [mm] x\in [/mm] M durch [mm] x\in [/mm] N ersetzen kann.
Im folgenden greife ich immer wieder darauf zurück, das [mm] x\in M=x\in [/mm] N wenn dies nun falsch sein sollte ist natürlich meine ganze Lösung für die Katz.
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> Hallo zusammen,
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> ich habe auch eine Frage zu dieser Art Aufgabe, bzw. ich
> bitte euch meinen Lösungsvorschlag zu kommentieren.
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> Also im groben bin ich davon ausgegangen, das wenn a) gilt
> daraus b) folgt und daraus dann c), daraus dann d) und da
> wiederum a) folgt.
> (a [mm]\Rightarrow[/mm] b [mm]\Rightarrow[/mm] c [mm]\Rightarrow[/mm] d [mm]\Rightarrow[/mm]
> a)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das kannst Du tun, aber Du mußt wissen, daß das, was Du hier als Implikationskette schreibst, in Wahrheit e einzeilne Beweise sind, 1. a)==>b), 2. b)==>c), usw.
Das bedeutet, daß Du für den Beweis 2. nicht [mm] M\subseteq [/mm] N verwenden kannst. Deine Voraussetzung für 2. ist $ [mm] M\cap [/mm] $ N=M.
> Im folgenden greife ich immer wieder darauf zurück, das
> [mm]x\in M=x\in[/mm] N wenn dies nun falsch sein sollte ist
> natürlich meine ganze Lösung für die Katz.
Ja, leider für die Katz.
Dein Aufschreib ist fatal, denn [mm]x\in M=x\in[/mm] N ist der totale Blödsinn, und solche Sachen machst Du in deinem Beweis auch.
Du meinst in Wahrheit : [mm] x\in [/mm] M ==> [mm] x\in [/mm] N
Du willst nun beweisen, daß gilt:
Behauptung: [mm] M\subseteq [/mm] N ==> [mm] M\cap [/mm] $ N=M
Voraussetzung: [mm] M\subseteq [/mm] N dh. [mm] (x\in [/mm] M ==> [mm] x\in [/mm] N)
zu zeigen: [mm] M\cap [/mm] N=M, dh.
[mm] M\cap [/mm] $ [mm] N\subseteq [/mm] M und [mm] M\subseteq M\cap [/mm] $ N, dh.
[mm] i.(x\in [/mm] M ==> [mm] x\in N\subseteq [/mm] M) und [mm] ii.(x\in [/mm] M==> [mm] x\in M\cap [/mm] $ N).
Beweis:
> Sei [mm]M\subseteq[/mm] N , d.h: wenn [mm]x\in[/mm] M, dann ist auch [mm]x\in[/mm] N
>
> [mm]\Rightarrow M\cap[/mm] N=M ist wahr, da [mm]M\cap N=x\in[/mm] M [mm]\wedge x\in[/mm]
> N = [mm]x\in[/mm] N [mm]\wedge x\in[/mm] N = [mm]x\in[/mm] N = [mm]x\in[/mm] M
zu i.
Sei [mm] x\in [/mm] M
==> [mm] x\in [/mm] M und [mm] x\in [/mm] N [mm] \qquad(wg. [/mm] Teilmenge)
==> [mm] x\in M\cap [/mm] N [mm] \qquad [/mm] (Def. Durchschnitt)
zu ii.
Sei [mm] x\in M\cap [/mm] $ N
==> [mm] x\in [/mm] M und [mm] x\in [/mm] N
==> [mm] x\in [/mm] M und [mm] x\in [/mm] M (Teilmenge)
==> [mm] x\in [/mm] M.
Insgesamt gilt also [mm] M\cap [/mm] $ [mm] N\subseteq [/mm] M und [mm] M\subseteq M\cap [/mm] $ N, also ist [mm] M\cap [/mm] N=M
Gruß v. Angela
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