Äquivalenz & vollst. Induktion < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Kar_o |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage! A,B,C und D seien dabei jeweils beliebige Mengen.
(A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (C [mm] \setminus [/mm] D) = (A [mm] \cup [/mm] C) [mm] \setminus [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] D) |
Hallo, ich bin unsicher im Umgang mit dem Beweis dieser Aufgabe.
Ich habe mir folgenden Lösungsansatz überlegt, vielleicht kann mir jemand sagen ob mein Anfang richitg oder falsch ist bzw weiter helfen.
also:
zu zeigen ist: (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (C [mm] \setminus [/mm] D) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C) [mm] \setminus [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] D)
Induktionsvorraussetzung: x [mm] \in [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (C [mm] \setminus [/mm] D)
Induktionsbehauptung: x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C) [mm] \setminus [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] D)
Induktionsbeweis: x [mm] \in [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (C [mm] \setminus [/mm] D) gdw.
1.) x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \not\in [/mm] B
oder
2.) x [mm] \in [/mm] C und x [mm] \not\in [/mm] D
wenn x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] C , dann x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \cup [/mm] D
--> (A [mm] \cup [/mm] C) \ (B [mm] \cup [/mm] D)
Ich komme irgendwie durch das [mm] \setminus [/mm] durcheinander.
Laut der Zeile wenn x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] C , dann x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \cup [/mm] D
würde es ja heißen, das es nicht äquivalent ist ? Oder bin ich komplett auf dem Holzweg?
wenn ich das Rückwerts mache sehe das so aus:
z.z. ist: (A [mm] \cup [/mm] C) [mm] \setminus [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] D) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (C [mm] \setminus [/mm] D)
Ind.vorr.: x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C) [mm] \setminus [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] D)
Ind.beh.: x [mm] \in [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (C [mm] \setminus [/mm] D)
Ind.bew.: x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C) [mm] \setminus [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] D) gdw.
1.) x [mm] \in [/mm] A oder x [mm] \in [/mm] C
und
2.) x nicht [mm] \in [/mm] von (B [mm] \setminus [/mm] D)
das würde doch bedeuten, dass nur der übriggebliebene Teil von B bei (A [mm] \cup [/mm] C) abgezogen werden würde. D.h. es könnten Elemente enthalten bleiben die durch D bei (A [mm] \cup [/mm] C) abgezogen worden wären wenn es nicht zuvor nur von B abgezogen worden wäre. (*hui komlpizierter Satz*) Lieg ich da richtig oder bastel ich mir da gerade eine Lösung die eigentlich nicht möglich ist? Bzw wenns richtig ist wie formuliere ich es mathematisch?
danke schon mal !
LG [mm] Kar_o
[/mm]
p.s. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Mi 24.10.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ich gebe zu, dass ich mir deine Lösung nicht angeschaut habe. Es ist eine gute Idee bevor man mit einem langen Induktionsbeweis anfängt, kurz zu überlegen, ob die gegebene Aussage doch nicht falsch ist. Ein einfaches Gegenbeispeil reicht in diesem Fall aus, um die Aussage zu widerlegen.
Was ist mit [mm] A=B\supset C=D\not=A?
[/mm]
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Kar_o |
| Aufgabe | | $ [mm] A=B\supset C=D\not=A? [/mm] $ |
Diese Aussage ist mir irgendwie nicht klar?Kannst du das vielleicht genauer erklären.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Mi 24.10.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> [mm]A=B\supset C=D\not=A?[/mm]
(Ich merk grad, dass oben A=C und B=D stehen sollte.)
[mm] A\supset [/mm] B [mm] \gdw B\subset [/mm] A.
Naja versuchs mit [mm] A=C:=\{1,2\} [/mm] und [mm] B=D:=\{2\}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Do 25.10.2007 | | Autor: | Kar_o |
$ [mm] A=C\supset B=D\not=A? [/mm] $
mit $ [mm] A=C:=\{1,2\} [/mm] $ und $ [mm] B=D:=\{2\}. [/mm] $
Das wäre dann bei
[mm] (A\setminus B)\cup(C \setminus [/mm] D) gleich {1}
und bei
[mm] (A\cup C)\setminus(B\setminus [/mm] D) gleich {1,2} ,
weil [mm] (B\setminus [/mm] D) soviel bedeutet wie (2-2)?
Hey ich glaub wenn das stimmt hab ich verstanden!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Do 25.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]A=C\supset B=D\not=A?[/mm]
>
> mit [mm]A=C:=\{1,2\}[/mm] und [mm]B=D:=\{2\}.[/mm]
>
> Das wäre dann bei
> [mm](A\setminus B)\cup(C \setminus[/mm] D) gleich {1}
> und bei
> [mm](A\cup C)\setminus(B\setminus[/mm] D) gleich {1,2} ,
richtig.
aber das mit 2-2 ist sehr schlecht. denn 2-2=0 und die 0 war ja in keiner Menge.
Was du meinst: wenn man von einer menge die Gleiche Menge abzieht bleibt kein Element mehr übrig. es ist also nur noch ne Leere Menge da,geschrieben [mm] \emptyset [/mm] oder {} das ist aber was ganz anderes als die Menge {0} die hat ein Element mit namen 0.
Also [mm] mm](B\setminus[/mm] D)={2}\setminus{2}=\emptyset
[/mm]
> weil [mm](B\setminus[/mm] D) soviel bedeutet wie (2-2)?
>
> Hey ich glaub wenn das stimmt hab ich verstanden!
Gut, ich denk du hasts verstanden und dich nur ungeschickt ausgedrückt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Do 25.10.2007 | | Autor: | Kar_o |
Ja, das hab ich wohl, doch ich meinte natürlich [mm] {2}\setminus{2}=\emtyset [/mm] .
Aber ich bin froh , das ich anscheinend doch nicht so dumm bin wie ich oft denke.
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