Äquivalenz in Aussagen < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Yaci |
| Aufgabe | (a) Es seien A und B Aussagen. Zeigen Sie
[mm] (A\gdw B)\gdw ((A\Rightarrow B)\wedge (B\Rightarrow [/mm] A))
[mm] (A\gdw B)\gdw ((A\Rightarrow B)\wedge$) (\neg A\Rightarrow \neg [/mm] B))
Erläutern Sie, inwiefern obige Formeln nützlich sein können, um Aufgabenteil (b) zu bearbeiten.
(b) Sei g: X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(1) Die Abbildung ist surjektiv.
(2) Für jede Menge Z und alle Abbildungen [mm] f_1 ,f_2 [/mm] :Y [mm] \to [/mm] Z gilt:
[mm] (f_1\circ [/mm] g = [mm] f_2\circ [/mm] g) [mm] \Rightarrow (f_1 [/mm] = [mm] f_2 [/mm] )
(c) Geben Sie ein Beispiel für Mengen X, Y und Z, sowie Abbildungen [mm] $f_1$, $f_2$, [/mm] g mit Definitions- und Wertebereichen wie oben an, so dass zwar [mm] f_1\circ [/mm] g = [mm] f_2 \circ [/mm] g, aber nicht [mm] f_1 [/mm] = [mm] f_2 [/mm] gilt. |
Hallo liebes Forum,
Bei Aufgabe a, habe ich die Äquivalenz mithilfe einer Wertetabelle gezeigt. Diese sieht ca so aus:
A B [mm] $A\gdw$B $(A\Rightarrow$B) $(B\Rightarrow$A) (A\Rightarrow$B)\wedge (B\Rightarrow$A)
[/mm]
f f w w w w
f w f w f f
w f f f w f
w w w w w w
Damit ist die Äquivalenz gezeigt. Auf meinem Blatt Papier, habe ich noch eine weitere Spalte mit dem ganzen Ausdruck, um es zu verdeutlichen.
Die zweite Aussage sieht eigentlich genauso aus.
Nur ist nun die Frage, wie mir dieses wissen bei (b) hilft.
Bei (b) habe ich das Problem, das ich nicht ganz verstehe, was das hier [mm] f_1\circ [/mm] g = [mm] f_2\circ [/mm] g) [mm] \Rightarrow (f_1 [/mm] = [mm] f_2 [/mm] ) eigentlich wirklich bedeutet.
Dieser Kreis heiß soviel wie "nach" oder? Also [mm] f_1 [/mm] nach g. Was heißt das aber nun?
Surjektiv heißt f(A) = B, also jede Zielmenge wurde quasi min. einmal getroffen, dazu gibt es bei Wiki bein paar gute Bilder.
Schon mal vielen Dank für eure Mühen und Hilfestellungen.
Bei (c) bin ich auch komplett raus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Yaci,
> (a) Es seien A und B Aussagen. Zeigen Sie
>
> [mm](A\gdw B)\gdw ((A\Rightarrow B)\wedge (B\Rightarrow[/mm] A))
> [mm](A\gdw B)\gdw ((A\Rightarrow B)\wedge$) (\neg A\Rightarrow \neg[/mm] B))
> Erläutern Sie, inwiefern obige Formeln nützlich sein
> können, um Aufgabenteil (b) zu bearbeiten.
>
> (b) Sei g: X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung. Zeigen Sie, dass
> folgende Aussagen äquivalent sind:
> (1) Die Abbildung ist surjektiv.
> (2) Für jede Menge Z und alle Abbildungen [mm]f_1 ,f_2[/mm] :Y [mm]\to[/mm] Z gilt:
> [mm](f_1\circ[/mm] g = [mm]f_2\circ[/mm] g) [mm]\Rightarrow (f_1[/mm] = [mm]f_2[/mm] )
>
> (c) Geben Sie ein Beispiel für Mengen X, Y und Z, sowie
> Abbildungen [mm]f_1[/mm], [mm]f_2[/mm], g mit Definitions- und Wertebereichen
> wie oben an, so dass zwar [mm]f_1\circ[/mm] g = [mm]f_2 \circ[/mm] g, aber
> nicht [mm]f_1[/mm] = [mm]f_2[/mm] gilt.
>
> Hallo liebes Forum,
>
> Bei Aufgabe a, habe ich die Äquivalenz mithilfe einer
> Wertetabelle gezeigt. Diese sieht ca so aus:
>
> A B [mm]A\gdw[/mm]B [mm](A\Rightarrow[/mm]B) [mm](B\Rightarrow[/mm]A)
> [mm](A\Rightarrow[/mm] [mm]B)\wedge (B\Rightarrow[/mm]A)
>
> f f w w w w
> f w f w f f
> w f f f w f
> w w w w w w
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Damit ist die Äquivalenz gezeigt. Auf meinem Blatt Papier,
> habe ich noch eine weitere Spalte mit dem ganzen Ausdruck,
> um es zu verdeutlichen.
> Die zweite Aussage sieht eigentlich genauso aus.
>
> Nur ist nun die Frage, wie mir dieses wissen bei (b) hilft.
>
> Bei (b) habe ich das Problem, das ich nicht ganz verstehe,
> was das hier [mm]f_1\circ[/mm] g = [mm]f_2\circ[/mm] g) [mm]\Rightarrow (f_1[/mm] = [mm]f_2[/mm] ) eigentlich wirklich bedeutet.
> Dieser Kreis heiß soviel wie "nach" oder? Also [mm]f_1[/mm] nach
> g. Was heißt das aber nun?
[mm]f_1,f_2[/mm] sind Abbildungen von [mm]Y\to Z[/mm], du stopfst also Elemente aus [mm]Y[/mm] rein und bekommst Elemente aus [mm]Z[/mm] geliefert.
[mm]g[/mm] bildet ab von [mm]X\to Y[/mm], du stopfst also ein [mm]x\in X[/mm] rein und bekommst ein [mm]g(x)=:y\in Y[/mm] heraus.
Und [mm]f_1\circ g[/mm] bedeutet "[mm]f_1[/mm] nach g", du führst also zuerst g aus, dann [mm]f_1[/mm] - da hast du also vollkommen recht.
[mm]f_1\circ g[/mm] bildet also von [mm]X[/mm] nach [mm]Z[/mm] ab, du stopfst zunächst ein [mm]x\in X[/mm] ein, wendest darauf g an, das liefert [mm]g(x)=:y\in Y[/mm], worauf du dann [mm]f_1[/mm] anwendest.
Also [mm]f_1\circ g:X\to Z, x\mapsto f_1\circ g(x)=f_1(g(x))[/mm]
>
> Surjektiv heißt f(A) = B, also jede Zielmenge wurde quasi
> min. einmal getroffen, dazu gibt es bei Wiki bein paar gute
> Bilder.
Ok, anders ausgedrückt (und für [mm]g:X\to Y[/mm])
[mm]g(X)=Y[/mm] bzw. für alle [mm]y\in Y[/mm] gibt es ein [mm]x\in X[/mm] mit [mm]g(x)=y[/mm]
Letztere Definition kann beim Beweis in (b) helfen ...
Zeigen musst du ja die Äquivalenz (1)[mm]\gdw[/mm](2)
Nach (a) musst du ja in jedem Falle (1)[mm]\Rightarrow[/mm](2) zeigen, da hilft die Def.
Dann kannst du ja mal ausprobieren, was einfacher ist zu zeigen:
(2)[mm]\Rightarrow[/mm](1)
oder
[mm]\neg[/mm](1)[mm]\Rightarrow\neg[/mm](2)
>
>
> Schon mal vielen Dank für eure Mühen und
> Hilfestellungen.
> Bei (c) bin ich auch komplett raus.
Verneine mal die Aussage (2) in (b) ... und bastel etwas herum ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
