äquivalenz grenzwertdefinition < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Mo 19.12.2005 | | Autor: | jogi |
Augabenstellung:
Zeigen sie die Äquivalenz folgender Definitionen
Def1: Für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein [mm] \delta>0, [/mm] so dass|f(x)-b| [mm] \le\varepsilon [/mm] für alle x element D mit [mm] |x-a|\le \delta
[/mm]
In diesem Fall schreibt man [mm] \limes_{x\rightarrow\a}f(x)=b
[/mm]
Def2:
1Fall: x [mm] \not\inD [/mm] und es gibt ein Funtion
[mm] \sim
[/mm]
f:D [mm] \cup{a} \to \IR,mit
[/mm]
[mm] \sim
[/mm]
f(x)=f(x) für alle [mm] x\inD
[/mm]
[mm] \sim
[/mm]
so dass f in a stetig man sagt dann, f lasse sich stetig in a fortsetzen und
[mm] \sim
[/mm]
nennt f(a) den grenzwert von f bei a.
Fall 2: [mm] a\inD [/mm] und es gibt eine funktion
[mm] \sim
[/mm]
f:D [mm] \to\IR, [/mm] mit
[mm] \sim
[/mm]
f(x)=f(x) für alle a [mm] \not=x \inD
[/mm]
[mm] \sim [/mm]
so dass, f in a stetig ist. wieder nennt man
[mm] \sim [/mm]
f(a) den Grenzwert von f bei a.
[mm] \sim
[/mm]
wenn f stetig in a ist, so ist natürlich f=f zu setzen und der grenzwert ist gleich dem funktionswert.
finde kein ansatz die aufgabenstellung zu lösen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Mo 19.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo jogi
kannst du deinen Text noch mal durchlesen und lesbarer machen?
Der Anfang von Def 2 ist für mich unleserlich.
Ausserdem find ich dein posting nicht nach den Forenregeln: keine Begrüßung, kein nettes Wort, kein Gruss am Ende nur so:
Da habt ihr ne Aufgabe, ich weiss nix, sag auch nicht was ich dazu schon überlegt hab. Und sonst will ich auch nix.
Gruss leduart
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Hallo jogi,
ich wuerd die Definition von Stetigkeit mal hinschreiben:
f stetig auf D gdw fuer alle [mm] x\in [/mm] D und alle [mm] \epsilon [/mm] >0 gibt es [mm] \delta [/mm] >0 so, dass
aus [mm] |x-y|\leq \delta [/mm] stets [mm] |f(x)-f(y)|\leq \epsilon [/mm] folgt.
Also versuchen wir mal zzg: f stetig nach def 1 impliziert f stetig nach Def 2.
gelte also [mm] \lim_{x\to a} [/mm] f(x) =b.
Fall 1: [mm] a\not\in [/mm] D
dann setzen wir mal F(x) =f(x) fuer [mm] x\in [/mm] D und F(a)=b.
Zzg: F [mm] \colon D\cup\{a\}\to\IR [/mm] stetig in a.
Aber stetig in a heisst nach Def.: [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 ........ (usw., siehe oben). Aber diese Bedingung ist doch nach Voraussetzung erfüllt.
Der andere Fall [mm] (a\in [/mm] D) und die andere Richtung gehen analog, ich glaube, wenn Du
Dir jeweils die Def. der Begriffe hinschreibst, siehst Du jeweils schnell ein, warum
die entsprechende Implikation gilt.
Gruss + viel Erfolg,
Mathias
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