Äquivalenz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Fr 06.01.2006 | | Autor: | tom.bg |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, V ein endlichdimensionaler Raum und T ein Endomorphismus von V .
Man zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(a1) rang [mm] T=rangT^{2} [/mm] (b1) dim Ker T=dim Ker [mm] T^{2}
[/mm]
(a2) Im T=Im [mm] T^{2} [/mm] (b2) Ker T=Ker [mm] T^{2}
[/mm]
(a3) Ker T + Im T=V (b3) Ker T [mm] \cap [/mm] Im T={0} |
Wie soll ich den Anfang machen??
Bitte gute Tips!
danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Fr 06.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei K ein Körper, V ein endlichdimensionaler Raum und T ein
> Endomorphismus von V .
> Man zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
> (a1) rang [mm]T=rangT^{2}[/mm] (b1) dim Ker T=dim Ker [mm]T^{2}[/mm]
> (a2) Im T=Im [mm]T^{2}[/mm] (b2) Ker T=Ker [mm]T^{2}[/mm]
> (a3) Ker T + Im T=V (b3) Ker T [mm]\cap[/mm] Im T={0}
> Wie soll ich den Anfang machen??
> Bitte gute Tips!
> danke :)
Also, zuerst kannst du ja zeigen dass (a1) und (a2) aequivalent sind, und das (b1) und (b2) aequivalent sind (geht analog): beachte die Beziehung zwischen $Bild T$ und $Bild [mm] T^2$ [/mm] bzw. $Ker T$ und $Ker [mm] T^2$.
[/mm]
Dann zeigst du, dass (a1)+(a2) zu (a3) aequivalent ist, und ebenso dass (b1)+(b2) zu (b3) aequivalent ist. (Denk an die Dimensionsformel!)
Und zum Schluss kannst du dann zeigen, dass (a3) zu (b3) aequivalent ist (ebenfalls an die Dimensionsformel denken!).
Teile der Aufgabe hatten wir heute auch schonmal als separate Fragen, kannst dich ja mal ein wenig umschauen 
Wenn du genauere Tipps brauchst sag wo genau du steckst und wo du nicht weiterkommst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mo 09.01.2006 | | Autor: | tom.bg |
ok also habe ich schon fast alles gemacht nur bei a2-->a3 bin ich hängen geblieben
da ker T und Im t unterräume von v sind gibt zwei fälle :
1 kerT=0 [mm] \Rightarrow [/mm] Im T=v ok
2 Im T=0 Ker T=v UND wie komme ich daraus auf Im [mm] T^{2} [/mm] ??!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, du hattest Probleme bei $(a2) [mm] \to [/mm] (a3)$.
Es sei $v [mm] \in [/mm] V$ beliebig gewält. Wegen [mm] $Im(T)=Im(T^2)$ [/mm] gibt es ein $u [mm] \in [/mm] V$ mit $T^2u=Tv$.
Nun haben wir:
$v = [mm] \underbrace{v- Tu}_{\in Kern(T)}+\underbrace{Tu}_{\in Bild(T)}$
[/mm]
wegen
$T(v-Tu) = Tv-T^2u=0$.
Liebe Grüße
Juloius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mo 09.01.2006 | | Autor: | jippie |
Ich bekomme noch nicht ganz die Folgerung a3=>a1 oder a2, und b1=>b2.
Vielleiht kann mir d a jemand aushelfen.
Danke
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Hallo,
a3 [mm] \Rightarrow [/mm] a1 geht so:
Es ist ja rang T = dim im T (Definition). Da im [mm] T^2\subseteq [/mm] im T gilt, musst Du also hier
im T = im [mm] T^2 [/mm] zeigen. Es ist im T = (im [mm] T\cap [/mm] ker T) [mm] \cup [/mm] (im [mm] T\setminus [/mm] ker T).
Sei also v [mm] \in [/mm] im T, zu zeigen: [mm] v\in [/mm] im [mm] T^2. [/mm] Falls v auch im Kern von T liegt, muss es
[mm] u\in [/mm] im [mm] T\setminus [/mm] ker T geben mit Tu=v, und somit folgt [mm] v\in [/mm] im [mm] T^2 [/mm] (dieses u liegt ja im Bild von T).
Falls v nicht im Kern liegt, muss es [mm] u\in [/mm] Im [mm] T\setminus [/mm] Ker T geben mit Tu=v (benutzen:
Im T+Ker T=V). Dann gibt es w [mm] \in [/mm] V mit Tw=u , also T^2w=v.
[mm] b1\Rightarrow [/mm] b2:
Es ist ja ker T ein Unterraum von ker [mm] T^2, [/mm] d.h. wenn beide gleiche Dimension haben, sind sie gleich.
Gruss,
Mathias
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