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Änderungsraten: Frage zum Thema
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 Fr 18.05.2012
Autor: Fabi16

Aufgabe
Wie und wann wende ich die mittlere und momentane Änderungsrate an ?



Hallo,
mir ist der genaue Unterschied nicht klar zwischen der mittleren und momentanen Änderungsrate.
Ich weiß das die mittlere Änderungsrate : ms(h) = f(xo+h)-f(xo)/h
und die momentane Änderungsrate f'(xo) = lim h --> 0 f(xo+h)-f(xo)/h
ist.
Aber mir ist der Unterschied zwischen beiden nicht klar und was es mit Limes auf sich hat ( muss man das nicht nur dazu schreiben ? ).
Wann man beide Sachen anwendet und was ich dann einsetzen muss.

Und warum kann ich nicht die Formel f(b)-f(a) / b - a nehmen müsste die nicht gehen für die mittlere Änderungsrate ?

Danke schonmal im Voraus :)
Fabi16


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Änderungsraten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Fr 18.05.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Wie und wann wende ich die mittlere und momentane
> Änderungsrate an ?

falsche Frage, wenn man etwas noch nicht verstanden hat. ;-)

Die richtige Frage lautet: was ist es, welche Überlegung bzw. welches Prinzip steckt dahinter?

> mir ist der genaue Unterschied nicht klar zwischen der
> mittleren und momentanen Änderungsrate.

Eine Funktion ändert, sofern sie nicht gerade konstant ist, ihren Wert. Wenn du mit dem Auto fährst, dann kannst du die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit betrachten, aus dem einfachen Grund, weil du zu jedem Zeitpunkt eine eindeutige Geschwindigkeit hast (und nicht etwa gleichzeitig zwei Geschwindigkeiten). Nun, man ändert beim Autofahren seine Geschwindigkeit ständig. Der Bordcomputer meines Autos bspw. zeigt eine Durchschnittsgeschwindigkeit an. Diese ändert sich (wenn ich es richtig in Erinnerung habe, alle 30 Sekunden). D.h., der Göppel misst alle 30s die Geschwindigkeit und berechnet daraus (vereinfacht gessprochen) mit der Formel

[mm] \overline{v}=\bruch{s_{neu}-s_{alt}}{30} [/mm]

die Durchschittsgeschwindigkeit (die er an hier noch in km/h umrechnen müsste). [mm] s_{neu} [/mm] und [mm] s_{alt} [/mm] sind dabei zurückgelegte Wegstrecken, die er vom Tacho bekommt. Das ganze ist nichts anderes als eine mittlere Änderungsrate des zurückgelegten Weges.

Wenn ich nun z.B. mit 50km/h dahintuckere, zwischen zwei Messungen mal kurz Gas gebe und wieder herunterbremse, dann (das weiß ich aus Erfahrung) wird er als Durchschnittsgeschwindigkeit 50km/h anzeigen, obwohl die Durchschnittsgeschwindigkeit in diesem Zeitraum viel höher war. Man könnte jetzt auf die Idee kommen, dass der Wert genauer wird, wenn man das Zeitintervall, in dem gemessen wird, kürzer wählt. Und genau auf diese Idee kommt die Mathematik, und zwar auf radikale Art und Weise: sie wählt es unendlich kurz und bekommt damit die exakte Änderungsrate, in diesem Fall die exakte Geschwindigkeit, aber nur an einem bestimmten Punkt, bzw. hier an einem bestimmten Zeitpunkt.

> Ich weiß das die mittlere Änderungsrate : ms(h) =
> f(xo+h)-f(xo)/h

Du solltest es wenigsten in Klammern setzen: (f(xo+h)-f(xo))/h. Siehst du die Parallele zu meinem Beispiel?

> und die momentane Änderungsrate f'(xo) = lim h --> 0
> f(xo+h)-f(xo)/h
> ist.

Das hier schreiben wir mal so:

[mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm]

> Aber mir ist der Unterschied zwischen beiden nicht klar
> und was es mit Limes auf sich hat ( muss man das nicht nur
> dazu schreiben ? ).

Wenn du h unendlich klein werden lässt, wird es - vom praktischen Gesichtspunkt aus gesehen, gleich Null. Durch Null darf man aber nicht dividieren. Und es kommt noch ärger: auch der Zähler wird 0. Es entsteht ein sog. nicht definierter Ausdruck der Form 0/0, und den kann man nicht mehr durch eine einfache Rechnung auswerten, sondern nur durch eine Grenzwertbertrachtung, die man eben so hinschreibt. Wie das geht, müsstet ihr an Hand von Beispielen in der Schule besprochen haben, oder du schaust mal in deine Unterlagen.

> Wann man beide Sachen anwendet und was ich dann einsetzen
> muss.
>
> Und warum kann ich nicht die Formel f(b)-f(a) / b - a
> nehmen müsste die nicht gehen für die mittlere
> Änderungsrate ?

Die letztere Formel kann man auch nehmen, es ist nur eine andere Art, die mittlere Änderungsrate aufzuschreiben. Man setzt hier nämlich einfach [mm] a=x_0 [/mm] und [mm] b=x_0+h. [/mm] Nur: auch hier fehlen dir sowohl im Zähler als auch im Nenner Klammern!


Gruß, Diophant

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