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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Sa 13.05.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
hey leute, wir haben den begriff der ählichkeit folgendermaßen definiert:
"Sei V ein K-VR, seien [mm] f,g\in End_K(V)
[/mm]
f und g heißen ähnlich, falls es ein [mm] \pi\in Aut_K(V) [/mm] gibt mit:
[mm] g=\pi\circ f\circ\pi^-1"
[/mm]
heißt dies laut basiswechseldiagramm nicht einfach nur, dass die matrix zu g eine darst. matrix zu f ist, falls [mm] \pi [/mm] existiert.
dann wäre g die darst. matrix zu f bzgl der basis:
[mm] \pi(e_1),...,\pi(e_n) [/mm] fall V n-dim und [mm] e_1,...,e_n [/mm] sind die einheitsvektoren
wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte ob ich richtig liege.
warum [mm] \pi [/mm] ein Automorphismus sein muss habe ich nicht ganz verstanden, weil [mm] \pi [/mm] ja nicht von V nach V sondern vom [mm] K^n\to [/mm] V
danke und gruß
Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Sa 13.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Ari,
> heißt dies laut basiswechseldiagramm nicht einfach nur,
> dass die matrix zu g eine darst. matrix zu f ist, falls [mm]\pi[/mm]
> existiert.
ja-in , ja, es ist ein Basiswechsel, aber die Darstellungsmatrix ist bezüglich EINER Basis gegeben - also man kann nicht frei die Ursprungs- und die Bildraumbasis wählen (das würde ja auch bei Endomorphismen noch gehen, sondern man will explizit nur eine Basis !)
>
> dann wäre g die darst. matrix zu f bzgl der basis:
>
> [mm]\pi(e_1),...,\pi(e_n)[/mm] fall V n-dim und [mm]e_1,...,e_n[/mm] sind die
> einheitsvektoren
>
Ähm, bist du da ganz sicher, dass du die alte Basis nur als Linkombi der neuen angeben willst?
Also normalerweise will man ja sowas haben wie : der neue Basisvektor [mm] b_1 [/mm] in Darstellung der alten Basis , also zum Beispiel : [mm] $b_1 =e_1 +e_2$ [/mm] oder so.
ABER NICHT [mm] $e_1 [/mm] = [mm] 2*b_1 [/mm] + [mm] 3*b_3$
[/mm]
ansonsten müsste man natürlich [mm] $\pi^{-1}(e_i)$ [/mm] betrachten..
> warum [mm]\pi[/mm] ein Automorphismus sein muss habe ich nicht ganz
> verstanden, weil [mm]\pi[/mm] ja nicht von V nach V sondern vom
> [mm]K^n\to[/mm] V
wieso geht [mm] $\pi$ [/mm] nicht von V nach V ?
du steckst in [mm] $\pi$ [/mm] , f (und damit auch in g) nur Elemente aus V rein - nicht etwa seine Repräsentation aus [mm] $K^n$.
[/mm]
die Repräsentanten aus [mm] $K^n$ [/mm] multipliziert man nur an die entspr. Matrix und es kommt dann auch ein Element aus [mm] $K^n$ [/mm] raus.
Also : [mm] $\pi$ [/mm] geht von V nach V und seine Dastellungsmatrix ist eine Abbildung von [mm] $K^n \to K^n$.
[/mm]
also sei [mm] $v\in [/mm] V$ und [mm] v_K [/mm] seine Repräsentation im [mm] K^n [/mm] , dann ist :
[mm] $f(v)=v'\qquad\gdw\qquad A_f *v_K [/mm] = v'_K$
Also es gibt schon einen Unterschied zwischen einer Abbildung f und ihrer Darstellungsmatrix [mm] A_f [/mm] ...
viele Grüße
DaMenge
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