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| Aufgabe | Aufgabe
Sei A= [mm] \pmat{ 5 & -6 & -6 \\ -1 & 4 & 2 \\ 3 & -6 & -4} [/mm] aus M(3*3, R )
Ist A diagonalisierbar? Falls ja, gebe man eine invertierbare Matrix P und eine Diagonalmatrix D an mit
D = PAP^-1 |
Hallo
Hallo,
ich habe die charakteristische Abbildung bestimmt: [mm] x^3-5x^2+8x-4
[/mm]
Folgende Eigenwerte berechent [mm] \lambda1 [/mm] = 1, [mm] \lambda2=2
[/mm]
Der Eigenraum zu [mm] \lambda1 [/mm] = 1 hat die dimension 2 und ich komme auf die basis (2y,y,0),(2z,0,z)
Der Eigenraum zu [mm] \lambda2=2 [/mm] hat die Dimension 1 und ich komme auf die Basis (3,1,3)
Aus den Basen habe ich dann eine Matrix gemacht:
[mm] \pmat{ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3} [/mm] Ist das jetzt mein P?
Dazu habe ich dann auch die Inverse berechnet.(Ist die dann P^-1)???
Meine Frage ist nun: Was muss ich als nächstes Machen?
ich habe jetzt ja P, P^-1 und A.
Damit müsste ich ja eigentlich wenn ich P, P^-1 und A miteinander multipliziere D erhalten.
Stimmt das so????
Aber was muss als D rauskommen, damit ich weiß dass ich alles richtig gerechnet habe???
Liebe Grüße Tasja
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> Aufgabe
> Sei A= [mm]\pmat{ 5 & -6 & -6 \\ -1 & 4 & 2 \\ 3 & -6 & -4}[/mm] aus
> M(3*3, R )
> Ist A diagonalisierbar? Falls ja, gebe man eine
> invertierbare Matrix P und eine Diagonalmatrix D an mit
> D = PAP^-1
> Hallo
> Hallo,
> ich habe die charakteristische Abbildung bestimmt:
> [mm]x^3-5x^2+8x-4[/mm]
> Folgende Eigenwerte berechent [mm]\lambda1[/mm] = 1, [mm]\lambda2=2[/mm]
> Der Eigenraum zu [mm]\lambda1[/mm] = 1 hat die dimension 2 und ich
> komme auf die basis (2y,y,0),(2z,0,z)
Hallo,
wenn, dann ist [mm] \vektor{2\\1\\0}, \vektor{2\\0\\1} [/mm] die Basis, nichts mit y und z.
Aber irgendwie hast Du Dich vertan: das ist die Basis des Eigenraums zu [mm] \lambda_2=2.
[/mm]
> Der Eigenraum zu [mm]\lambda2=2[/mm] hat die Dimension 1 und ich
> komme auf die Basis (3,1,3)
Der Eigenraum zu [mm] \lambda_1=1 [/mm] hat die Basis [mm] \vektor{3\\-1\\3}.
[/mm]
> Aus den Basen habe ich dann eine Matrix gemacht:
> [mm]\pmat{ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3}[/mm] Ist das jetzt
> mein P?
Ausgehend von D = [mm] PAP^{-1} [/mm] wäre das Dein [mm] P^{-1}.
[/mm]
> Dazu habe ich dann auch die Inverse berechnet.(Ist die
> dann P^-1)???
Wenn Du nun von [mm] P^{-1} [/mm] die Inverse berechnest, bekommst Du P.
>
> Meine Frage ist nun: Was muss ich als nächstes Machen?
> ich habe jetzt ja P, P^-1 und A.
>
> Damit müsste ich ja eigentlich wenn ich P, P^-1 und A
> miteinander multipliziere D erhalten.
> Stimmt das so????
> Aber was muss als D rauskommen, damit ich weiß dass ich
> alles richtig gerechnet habe???
D muß eine Diagonalmatrix sein, welche auf der Diagonalen die drei Eigenwerte 1,2,2 hat.
Gruß v. Angela
>
> Liebe Grüße Tasja
>
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hi angela, wenn ich also mit der von dir korigierten Matrix weiter rechen:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 3 } [/mm] = P^-1
Komme ich auf
[mm] \pmat{ -1 & 3 & 2 \\ 3 & -6 & -5 \\ -1 & 2 & 2 } [/mm] = P
So wie ich das nun verstanden habe muss dann wohl sowas rauskommen
[mm] \pmat{ 1 & - & - \\ - & 2 & - \\ - & - & 2 } [/mm] = D ???
Müssen anstelle der Platzhalter Nullen stehen oder ist das egal ob da dann Zahlen stehen???
Gruß tasja
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> hi angela, wenn ich also mit der von dir korigierten Matrix
> weiter rechen:
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 3 }[/mm] = P^-1
Hallo,
die Matrix stimmt nicht. Die Eigenvektoren müssen in die Spalten, nicht in Zeilen.
>
> Komme ich auf
> [mm]\pmat{ -1 & 3 & 2 \\ 3 & -6 & -5 \\ -1 & 2 & 2 }[/mm] = P
>
> So wie ich das nun verstanden habe muss dann wohl sowas
> rauskommen
>
> [mm]\pmat{ 1 & - & - \\ - & 2 & - \\ - & - & 2 }[/mm] = D ???
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> Müssen anstelle der Platzhalter Nullen stehen oder ist das
> egal ob da dann Zahlen stehen???
Nullen. Es soll ja eine Diagonalmatrix herauskommen.
Gruß v. Angela
>
> Gruß tasja
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ja das hat irgendwie mit der Eingabe nicht so geklappt wie ich das wollte:
(2 2 3)
(1 0 -1)
(0 1 3)
So dazu hab ich dann die Inverse berechnet wie im vorigen Post schon geschrieben (die hab ich auch überprüft, es kommt die Einheitsmatrix raus).
Jetzt komm ich aber durch Rechen nicht auf die Diagonalmatrix ;( Ich muss die 3 Matrizen ja einfach mit einader multiplizieren oder? Muss ich da ne bestimmte Reihenfolge beachten oder so? Wahrscheinlich ist wieder irgendwo ein dummer Fehler und deshalb komm ich nicht drauf oder geh ich grad den komplett falschen Weg?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Di 02.02.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo,
die Reihenfolge ist:
[mm] D=P*A*P^{-1}
[/mm]
Dann kommt auch [mm] D=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] heraus
Du hast vermutlich P und [mm] P^{-1} [/mm] vertauscht.
LG
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Di 02.02.2010 | | Autor: | tasjasofie |
oh juhuuu endlich hab ich es durch eure Hilfe hinbekommen!!!
Tausend Dank an Angela und Herby!
Liebe Grüße
TasjaSofie
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