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| Aufgabe | Es sei [mm]\left( V, \Phi \right)[/mm] ein unitärer Vektorraum. Zeigen Sie, dass für die adjungierten Endomorphismen von [mm]F,G \in End_K \left(V \right) [/mm] gilt:
[mm] \left(F \circ G\right) ^{adj} = G^{adj} \circ F^{adj} [/mm]
Schließen sie hieraus, dass für normale Endomorphismen [mm] F \in End_K \left( V \right) [/mm] der Endomorphismus [mm] F \circ F^{adj}[/mm] selbstadjungiert ist. |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
den ersten Teil des Beweises habe ich bereits erledigt. Den zweiten Teil im Prinzip auch. Hier bin ich nur verunsichert, weil ich dafür die Vorraussetzung normal nicht gebraucht habe. Hier mal mein "Einzeiler":
[mm]F \circ F^{adj}=\left(F^{adj}\right)^{adj} \circ F^{adj} = \left( F \circ F^{adj} \right)^{adj}[/mm]
Für den letzten Schritt habe ich den ersten Teil des Beweises verwandt, wobei ich [mm]F=F, G=F^{adj}[/mm] gesetzt habe. Ansonsten habe ich nur [mm]F=\left(F^{adj}\right)^{adj}[/mm] ausgenutzt.
Habe ich jetzt irgendwie irgendwelche Endomorphismen irgendwo einmal zu wenig oder einmal zu viel hin und hergedreht, so dass ich die Normalität noch hätte ausnutzen müssen? Ich seh nicht, wo der Fehler stecken soll!
Vielen Dank für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:57 Mo 18.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei [mm]\left( V, \Phi \right)[/mm] ein unitärer Vektorraum.
> Zeigen Sie, dass für die adjungierten Endomorphismen von
> [mm]F,G \in End_K \left(V \right)[/mm] gilt:
>
> [mm]\left(F \circ G\right) ^{adj} = G^{adj} \circ F^{adj}[/mm]
>
> Schließen sie hieraus, dass für normale Endomorphismen [mm]F \in End_K \left( V \right)[/mm]
> der Endomorphismus [mm]F \circ F^{adj}[/mm] selbstadjungiert ist.
> Hallo,
>
> ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> den ersten Teil des Beweises habe ich bereits erledigt. Den
> zweiten Teil im Prinzip auch. Hier bin ich nur
> verunsichert, weil ich dafür die Vorraussetzung normal
> nicht gebraucht habe. Hier mal mein "Einzeiler":
>
> [mm]F \circ F^{adj}=\left(F^{adj}\right)^{adj} \circ F^{adj} = \left( F \circ F^{adj} \right)^{adj}[/mm]
>
> Für den letzten Schritt habe ich den ersten Teil des
> Beweises verwandt, wobei ich [mm]F=F, G=F^{adj}[/mm] gesetzt habe.
> Ansonsten habe ich nur [mm]F=\left(F^{adj}\right)^{adj}[/mm]
> ausgenutzt.
Genau.
> Habe ich jetzt irgendwie irgendwelche Endomorphismen
> irgendwo einmal zu wenig oder einmal zu viel hin und
> hergedreht, so dass ich die Normalität noch hätte ausnutzen
> müssen? Ich seh nicht, wo der Fehler stecken soll!
Die Voraussetzung, dass $F$ normal ist, ist ueberfluessig.
LG Felix
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