adjungiert < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:51 Mi 05.06.2013 | | Autor: | petapahn |
| Aufgabe | Sei f : V ---> V ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen
unitären Vektorraums. Beweisen Sie, dass f genau dann normal ist, wenn
die adjungierte Abbildung f ein Polynom in f ist, also f* = p(f) für ein
p [mm] \in \IC[X]. [/mm] |
Hallo,
Ich weiß, dass für normale Endomorphismen gilt: f* [mm] \circ [/mm] f = f [mm] \circ [/mm] f*.
Nach dem Spektralsatz für normale Endomorph. besitzt jede normale Matrix eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren und ist unitär diagonalisierbar, wenn die Eigenwerte in IK liegen. Da IK hier [mm] \IC [/mm] ist, tun sie das und das char. Polynom zerfällt vollst. in Linearfaktoren.
[mm] p(f)=a_{0}+a_{1}f [/mm] + [mm] a_{2} f^{2}+....+a_{n}f^{n}= [/mm] f*
Zu zeigen für [mm] "\Leftarrow" [/mm] wäre also, dass f [mm] \circ [/mm] f* = f [mm] \circ [/mm] p(f) = p(f) [mm] \circ [/mm] f = f* [mm] \circ [/mm] f. Stimmt das "Kringel" überhaupt oder sollte das ein ganz normales "Mal" sein? Irgendwie hab ich bei beiden Richtungen aber keinen Plan, wie ich es lösen soll.
Wäre um Hilfe dankbar.
LG, petapahn
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Mi 05.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei f : V ---> V ein Endomorphismus eines
> endlich-dimensionalen
> unitären Vektorraums. Beweisen Sie, dass f genau dann
> normal ist, wenn
> die adjungierte Abbildung f ein Polynom in f ist, also
> f* = p(f) für ein
> p [mm]\in \IC[X].[/mm]
> Hallo,
> Ich weiß, dass für normale Endomorphismen gilt: f* [mm]\circ[/mm]
> f = f [mm]\circ[/mm] f*.
> Nach dem Spektralsatz für normale Endomorph. besitzt jede
> normale Matrix eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren und
> ist unitär diagonalisierbar, wenn die Eigenwerte in IK
> liegen. Da IK hier [mm]\IC[/mm] ist, tun sie das und das char.
> Polynom zerfällt vollst. in Linearfaktoren.
> [mm]p(f)=a_{0}+a_{1}f[/mm] + [mm]a_{2} f^{2}+....+a_{n}f^{n}=[/mm] f*
> Zu zeigen für [mm]"\Leftarrow"[/mm] wäre also, dass f [mm]\circ[/mm] f* =
> f [mm]\circ[/mm] p(f) = p(f) [mm]\circ[/mm] f = f* [mm]\circ[/mm] f. Stimmt das
> "Kringel" überhaupt
"Kringel" ist die übliche Verkettung
> oder sollte das ein ganz normales
> "Mal" sein? Irgendwie hab ich bei beiden Richtungen aber
> keinen Plan,
Die eine Richtung hast Du doch !
> wie ich es lösen soll.
> Wäre um Hilfe dankbar.
> LG, petapahn
Sei n:=dim(V)
Wenn f normal ist , ist f diagonalisierbar. Sind also [mm] \lambda_1, [/mm] ...., [mm] \lambda_n [/mm] die Eigenwerte von f, so gibt es eine Orthonormalbasis [mm] b_1,...,b_n [/mm] von V mit [mm] f(b_j)=\lambda_j*b_j [/mm] (j=1,,,.,n).
Nun konstruiere eine Polynom p mit: [mm] p(\lambda_j)=\overline{\lambda_j}
[/mm]
(denke dabei an Interpolationspolynome).
Zeige nun, dass p das Gewünschte leistet.
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo,
erstmal danke für die Tipps.
>
> Die eine Richtung hast Du doch !
>
ja aber das war ja kein Beweis. Ich hatte nur den Ansatz aber nicht die Lösung, warum ist f $ [mm] \circ [/mm] $ p(f) = p(f) $ [mm] \circ [/mm] $ f?
> Nun konstruiere eine Polynom p mit:
> [mm]p(\lambda_j)=\overline{\lambda_j}[/mm]
>
> (denke dabei an Interpolationspolynome).
>
Da p Polynom kann man ja [mm] p(x)=\summe_{i=1}^{n}a_{i-1}x^{i-1} [/mm] mit Hilfe dieser Vandermondschen Matrix darstellen also:
[mm] p(\lambda)= \pmat{ 1 & \lambda_{0} & ... & \lambda_{0}^{n-1} \\ . & . & . \\ . & . & . \\ .& . & . \\ 1 & \lambda_{n-1} & ...& \lambda_{n-1}^{n-1} } \vektor{a_{0} \\ . \\.\\.\\a_{n-1}} [/mm] = [mm] \vektor{\overline{\lambda_0} \\ . \\.\\.\\\overline{\lambda_{n-1}}}.
[/mm]
Aber welches Polynom erfüllt diese Gleichung. Ich weiß nur, dass zwischen [mm] \lambda [/mm] und [mm] \overline{\lambda} [/mm] dieser Zusammenhang besteht:
[mm] \lambda [/mm] * [mm] \overline{\lambda} [/mm] = [mm] |\lambda|^2
[/mm]
LG, petapahn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 07.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
